La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable , esta ecuación es de la forma
donde y son funciones continuas en un intervalo abierto con .
Solución
Caso general ()
Dividimos la ecuación diferencial entre y obtenemos
o, equivalentemente
Definiendo obtenemos las igualdades
o
Reemplazando en la ecuación diferencial
Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por
donde es una constante arbitraria, como entonces
Finalmente
Casos particulares Cuando entonces la ecuación
se reduce a la ecuación
cuya solución está dada por
Cuando entonces la ecuación
se reduce a
que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por
Ejemplo Para resolver la ecuación:
Se hace el cambio de variable , que introducido en da simplemente:
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Si se sustituye en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
Véase también Ecuación Diferencial de Primer Orden Ecuación Diferencial Ordinaria Ecuación Diferencial Ecuación Diferencial Lineal Bernoulli
Bibliografía
Enlaces externos
Ecuacion diferencial de Bernoulli Categoría:Ecuaciones epónimas de matemáticas Categoría:Ciencia de los años 1690 Categoría:1693