El teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo semisimple A es isomorfo a un producto de anillos de matrices de orden sobre anillos de división donde , y están determinados de forma única salvo el orden . Como consecuencia se obtiene que cualquier anillo simple y artiniano por la izquierda (o por la derecha) es isomorfo a un anillo de matrices de orden n sobre un anillo de división.
El teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar anillos simples sobre un anillo de división a clasificar anillos de división que contienen un anillo de división dado. Y esto todavía puede simplificarse más: el centro de un anillo de división será un cuerpo K. Por lo tanto, A es una K-álgebra que tiene a K como centro. Así, un álgebra simple de dimensión finita es un álgebra simple central sobre K. Consecuentemente, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar las álgebras simples centrales de dimensión-finita al problema de clasificar anillos de división con un centro dado de antemano.
Ejemplos Sea el cuerpo de los números reales, el de los números complejos, y el anillo de división de los cuaterniones.
Toda álgebra simple de dimensión finita sobre es un anillo de matrices sobre , o . Toda álgebra simple de dimensión finita sobre es un anillo de matrices sobre y por tanto, cada álgebra central simple sobre es un anillo de matrices sobre . Toda álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo finito es un anillo de matrices sobre ese cuerpo. El álgebra de los cuaterniones es central simple sobre . No es isomorfa a para ningún (pues es un anillo de división no conmutativo), pero al extender escalares a los complejos se tiene .
Véase también Teorema de Maschke
Artin-Wedderburn Categoría:Teoría de anillos Artin-Wedderburn