thumb|El complementario de un conjunto es otro conjunto que contiene todos los elementos (dentro del universo ) que no están en . El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos es el conjunto de los números no primos , que está formado por los números compuestos y el 1:
A su vez, el conjunto es el complementario de . El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «», por lo que se tiene: , y también .
El conjunto complementario de es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y , por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
Definición miniaturadeimagen|Complementario de un conjunto . Dado un conjunto , su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a :
Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal , pues de otro modo, en la afirmación «todos los que no están en », la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal , entonces el complementario de es el conjunto de todos los elementos de que no están en , por lo que la relación con la diferencia es clara:
Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:
Ejemplo. El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas). Hablando de números naturales, el complementario del conjunto es el conjunto . El complementario del conjunto en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal es toda el área del rectángulo).
Propiedades
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:
Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda:
En también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento:
Relación Complementaria Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un producto cartesiano X × Y. La relación complementaria es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como
Aquí, R es a menudo visto como una matriz lógica con las filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.
Junto con la composición de relaciones y la relación inversa , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son la operación elemental de la lógica algebraica
Véase también Álgebra de conjuntos Conjunto Teoría de conjuntos Diferencia de conjuntos Unión de conjuntos Diferencia simétrica
Referencias
Categoría:Teoría de conjuntos