derecha|mini|300px|El Hombre de Vitruvio, de Leonardo da Vinci (ca. 1487), es una representación muy citada de la simetría del cuerpo humano, y por extensión del mundo. La simetría (del griego őύν "con" y μέτροv "medida") es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios.
Existen cinco tipos de simetría claramente establecidos:
De rotación. Es el giro que experimenta todo motivo de manera repetitiva hasta que finaliza consiguiendo la posición idéntica que tenía al principio. De abatimiento. En este caso lo que se logra es dos partes iguales de un objeto concreto tras llevarse a cabo un giro de 180° de una con respecto a la otra. De traslación. Este es el término que se utiliza para referirse al conjunto de repeticiones que lleva a cabo un objeto a una distancia siempre idéntica del eje y durante una línea que puede estar colocada en cualquier posición. De ampliación. Se emplea para dejar patente que dos partes de un todo son semejantes y es que tienen la misma forma pero no un tamaño igual. Bilateral. Es la que permite que se obtenga un retrato bilateral que tiene como espina dorsal un eje de simetría. A los lados de este aparecen formas iguales a la misma distancia de él que serán las que permitan crear ese citado retrato.
En condiciones formales, un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática si el resultado de aplicar esa operación o transformación al objeto, el resultado es un objeto indistinguible en su aspecto del objeto original. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslación, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. Además de simetrías geométricas existen simetrías abstractas relacionadas con operaciones abstractas como la permutación de partes de un objeto.
En matemática En geometría
miniatura|Gráfica de dos hipérbolas y sus asíntotas en el plano cartesiano miniatura|200px|Grupo de simetría de la esfera Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta:
Simetría esférica si existe simetría bajo cualquier rotación, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3). Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2). Simetría reflectiva o simetría especular que se caracteriza por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo O(1) o su representación equivalente . En dos dimensiones tiene un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si se construye una perpendicular, cualquier punto que reposee en esta perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son idénticos. Otra manera de verlo es que si la forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo haciendo que sus bordes coincidan. Un círculo tendría infinitos ejes de simetría por la misma razón. Simetría traslacional se da cuando la transformación deja invariable a un objeto bajo un grupo de traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia solo se da para un número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto infinito no numerable de valores de a en caso contrario.
Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son: Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a . Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación alrededor de un eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación. Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases: Simetría helicoidal infinita Simetría helicoidal de n-ejes Simetría helicoidal que no se repite
En lógica Una relación binaria R = S × S es simétrica si para cada elemento a, b en S, siempre que sea cierto que Rab, también será cierto Rba.Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis (2005) The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press, p. 790 Por lo tanto, la relación «tiene la misma edad que» es simétrica, porque si Pablo tiene la misma edad que María, entonces María tiene la misma edad que Pablo.
En lógica proposicional, las conectivas lógicas binarias simétricas incluyen y (∧, o &), o (∨, o |) y si y solo si (↔), mientras que la conectiva si (→) no es simétrica. Otras conectivas lógicas simétricas incluyen no y (no-y, o ⊼), xor (no-bicondicional, o ⊻) y ni (no-o, o ⊽).
Otras áreas de las matemáticas Se puede decir que un objeto matemático es simétrico con respecto a una operación matemática dada, si, cuando se aplica al objeto, esta operación conserva alguna propiedad del objeto.Christopher G. Morris (1992) Academic Press Dictionary of Science and Technology Gulf Professional Publishing El conjunto de operaciones que preservan una propiedad dada del objeto forman un grupo.
En general, todo tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de simetría. Los ejemplos incluyen funciones pares e impares en cálculo, grupos simétricos en álgebra abstracta, matrices simétricas en álgebra lineal, y grupos de Galois en la teoría de Galois. En estadística, la simetría también se manifiesta como distribuciones de probabilidad simétricas y como asimetría, la asimetría de distribuciones.
En el arte miniaturadeimagen|Alegoría a la simetría de Valeriano Salvatierra en el Museo del Prado (Madrid)
En arquitectura La simetría se encuentra en la arquitectura en todas las escalas, desde las vistas externas generales de edificios como las catedrales góticas y la Casa Blanca, pasando por el diseño de las plantas y hasta el diseño de elementos de construcción individuales como mosaicos de baldosas. Los edificios islámicos como el Taj Mahal y la mezquita de Lotfollah hacen un uso elaborado de la simetría tanto en su estructura como en su ornamentación.Williams: Symmetry in Architecture. Members.tripod.com (1998-12-31). Retrieved on 2013-04-16.Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture. Math.nus.edu.sg. Retrieved on 2013-04-16. Los edificios moriscos como la Alhambra están ornamentados con patrones complejos realizados utilizando simetrías de traslación y reflexión, así como rotaciones.
La arquitectura modernista, comenzando con el estilo internacional, se basa, en cambio, en «alas y equilibrio de masas».
En dibujo En dibujo existen cinco simetrías importantes que son simetría de traslación, rotación, ampliación, bilateral, abatimiento.
Simetría de traslación o invariancia traslacional es la repetición de una forma a lo largo de una línea en cualquier posición, vertical, horizontal, diagonal o curva, que se desplaza a cualquier distancia constante sobre el eje. Simetría de rotación giro de un motivo que se repite cierto número de veces hasta ser idéntico al inicio, tiene determinado orden en la rotación (15°, 30°, 45°, 60°, 90°, hasta 360°). La forma gira en torno a un centro que puede estar dentro de la misma. Simetría de ampliación, las partes de él son semejantes, pues tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, ya que se extiende del centro hacia afuera para ser cada vez mayor. Simetría de abatimiento El eje de giro nos muestra dos partes idénticas con un giro de 180° una en relación con la otra. Simetría bilateral Un retrato bilateral, está compuesto por formas iguales a igual distancia a ambos lados de un eje. Todo eso dentro de un eje de simetría.
En alfombras y tapetes Una larga tradición del uso de la simetría en alfombras abarca una variedad de culturas. Los indios navajos estadounidenses usaban diagonales en negrita y motivos rectangulares. Muchas alfombras orientales tienen intrincados centros y bordes reflejados que traducen un patrón. No es sorprendente que las alfombras rectangulares tengan típicamente las simetrías de un rectángulo, es decir, motivos que se reflejan tanto en el eje horizontal como en el vertical.Marla Mallett Textiles & Tribal Oriental Rugs. The Metropolitan Museum of Art, New York.Dilucchio: Navajo Rugs. Navajocentral.org (2003-10-26). Retrieved on 2013-04-16.
En quilts Como los quilts están hechos de bloques cuadrados (generalmente 9, 16 o 25 piezas por bloque) y cada pieza más pequeña generalmente consiste en triángulos de tela, la artesanía se presta fácilmente a la aplicación de la simetría.Quate: Exploring Geometry Through Quilts . Its.guilford.k12.nc.us. Retrieved on 2013-04-16.
En otras artes y oficios thumb|upright=0.8|Nudo celta mostrando simetría p4 Aparecen simetrías en el diseño de objetos de todo tipo. Los ejemplos incluyen abalorios, muebles, pinturas de arena, nudos, máscaras e instrumentos musicales. Las simetrías son fundamentales para el arte de M. C. Escher y las muchas aplicaciones del mosaico en formas de arte y artesanía como papel tapiz, azulejos de cerámica como en la decoración geométrica islámica, batik, ikat, fabricación de alfombras y muchos tipos de patrones textiles y bordados.
La simetría también se utiliza en el diseño de logotipos. Al crear un logotipo en una cuadrícula y utilizar la teoría de la simetría, los diseñadores pueden organizar su trabajo, crear un diseño simétrico o asimétrico, determinar el espacio entre letras, determinar cuánto espacio negativo se requiere en el diseño y cómo acentuar partes del logo para que se destaque.
En estética
La relación de la simetría con la estética es compleja. Los seres humanos encuentran la simetría bilateral en los rostros físicamente atractivos; indica salud y aptitud genética.Jones, B. C., Little, A. C., Tiddeman, B. P., Burt, D. M., & Perrett, D. I. (2001). Facial symmetry and judgements of apparent health Support for a “‘ good genes ’” explanation of the attractiveness – symmetry relationship, 22, 417–429. A esto se opone la tendencia a que la simetría excesiva se perciba como aburrida o poco interesante. La gente prefiere formas que tengan algo de simetría, pero con la complejidad suficiente para hacerlas interesantes.
En literatura La simetría se puede encontrar en varias formas en la literatura, un ejemplo simple es el palíndromo donde un texto breve lee lo mismo hacia adelante o hacia atrás. Las historias pueden tener una estructura simétrica, como en el patrón de subida/bajada de Beowulf.
En física
En física el concepto de simetría puede formularse en una forma no geométrica. Si K es un conjunto de objetos matemáticos del mismo tipo (funciones, formas geométricas, ecuaciones, ...) que representan algunas propiedades de un sistema físico y G es un grupo de transformaciones que actúa sobre K de tal manera que:
Se dice que un elemento presenta simetría si:Wald, 1984, p. 441-444.