miniatura|225px Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática en una incógnita es aquella que tiene la expresión general:
donde es la incógnita, y las constantes , y son llamadas coeficientes: es el coeficiente cuadrático (distinto de cero), el coeficiente lineal y es el término independiente. El lado izquierdo de la ecuación es un polinomio de segundo grado en una variable que representa una función cuadrática; las soluciones de la ecuación son precisamente las raíces de este polinomio. En el caso de coeficientes reales, la gráfica de esta función es una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las abscisas de las intersecciones de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje son las soluciones reales de la ecuación. Ello depende del valor del discriminante: si es positivo, la parábola corta el eje en dos puntos, si es cero es tangente en un punto (una raíz doble), y si es negativo entonces no hay soluciones reales sino complejas.
Historia Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método solo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones. Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.
La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación en la época de los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos como razón de dos números enteros.Hoffmann. Historia de la matemática
En el Renacimiento al resolver que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la construcción de números imaginarios y la invención de la unidad imaginaria i, definida mediante la igualdad .Birkhoff- Mac Lane. Álgebra moderna Otto Bekken. Una breve historia del álgebra
Soluciones de la ecuación de segundo grado Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:
Se usa ± para indicar las dos soluciones:
| style="width:100px" align="center" | y
Un ejemplo práctico de la fórmula general:
Ejemplo Considérese la siguiente ecuación de segundo grado:
2
Para resolverla se utiliza la fórmula general:
donde
Sustituyendo los valores:
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son:
,
Por tanto,
Resolver la ecuación
Usamos la fórmula general:
Con
Separamos las posibles resoluciones para encontrar x.
Por tanto,
La ecuación tiene dos soluciones reales, 2 y 3.
Naturaleza de las raíces según el discriminante El discriminante es y sirve para analizar la naturaleza de las raíces que pueden ser reales o complejas.Kúrosch: Ecuaciones algebraicas de grado arbitrario, Editorial Mir, Moscú, varias ediciones
260px|miniatura|Signo del discriminante. ■ : dos raíces reales distintas. la parábola corta el eje de las abscisas en dos puntos diferentes.
■ : una raíz real, pero de multiplicidad dos o doble. La parábola solo toca en un único punto al eje de las abscisas.
■ : dos raíces complejas conjugadas. La parábola no corta al eje de las abscisas.
donde i es la unidad imaginaria.
Resolución de la ecuación de segundo grado Una ecuación cuadrática con real o complejo [tiene dos soluciones, llamadas raíces. Estas dos soluciones pueden o no ser distintas, y pueden o no ser reales. Factorización por inspección Puede ser posible expresar una ecuación cuadrática como un producto . En algunos casos, es posible, por simple inspección, determinar los valores de p, q, r y s que hacen que las dos formas sean equivalentes entre sí. Si la ecuación cuadrática se escribe en la segunda forma, entonces la «Propiedad del Factor Cero» establece que la ecuación cuadrática se satisface si o . Resolviendo estas dos ecuaciones lineales se obtienen las raíces de la cuadrática.
Para la mayoría de los estudiantes, la factorización por inspección es el primer método de resolución de ecuaciones cuadráticas al que están expuestos.{rp|202—207}} Si se da una ecuación cuadrática de la forma , la factorización buscada tiene la forma , y hay que encontrar dos números y que sumen y cuyo producto sea (a veces se llama «regla de Vieta». y está relacionado con las fórmulas de Vieta). Como ejemplo, factores como . El caso más general en el que no es igual a puede requerir un esfuerzo considerable de ensayo y error de adivinar y comprobar, suponiendo que se puede factorizar en absoluto por la inspección.
Excepto en casos especiales como cuando o , la factorización por inspección sólo funciona para ecuaciones cuadráticas que tienen raíces racionales. Esto significa que la gran mayoría de las ecuaciones cuadráticas que surgen en aplicaciones prácticas no pueden resolverse mediante factorización por inspección. Completar el cuadrado
thumb|right|300px|Figura 2. Para la función cuadrática , los puntos donde la gráfica cruza el eje , y , son las soluciones de la ecuación cuadrática . |alt=La figura 2 ilustra una gráfica x y de la función cuadrática f de x igual a x al cuadrado menos x menos 2. Las coordenadas x de los puntos donde la gráfica interseca el eje x, x igual a −1 y x igual a 2, son las soluciones de la ecuación cuadrática x al cuadrado menos x menos 2 igual a cero. El proceso de completar el cuadrado hace uso de la identidad algebraica
que representa un algoritmo bien definido que puede utilizarse para resolver cualquier ecuación cuadrática. Partiendo de una ecuación cuadrática en forma estándar, Divide cada lado por , el coeficiente del término elevado al cuadrado. Resta el término constante de ambos lados. Añade el cuadrado de la mitad de , el coeficiente de , a ambos lados. Esto «completa el cuadrado», convirtiendo el lado izquierdo en un cuadrado perfecto. Escribe el lado izquierdo como un cuadrado y simplifica el lado derecho si es necesario. Producir dos ecuaciones lineales igualando la raíz cuadrada del lado izquierdo con las raíces cuadradas positiva y negativa del lado derecho. Resuelve cada una de las dos ecuaciones lineales. Ilustramos el uso de este algoritmo resolviendo
El símbolo más-menos «±» indica que tanto and son soluciones de la ecuación cuadrática.
Para encontrar los puntos de corte en una parábola se utiliza la siguiente fórmula de segundo grado
Para eje X:
Coeficiente principal uno en la ecuación completa Cuando el término principal o cuadrático no tiene el coeficiente expreso, se sobreentiende que es 1, la ecuación se escribe: , Al trinomio del primer miembro, Birkhoff lo llama trinomio mónico cuyas raíces son:
La ecuación cuadrática también se puede resolver con un cambio de variable. Consideremos la ecuación de segundo grado . Haciendo el cambio de variable , se puede buscar para hacer que el coeficiente de en la cuadrática que resulte sea cero y que la ecuación se simplifique a una de la forma . (En la práctica, si es fácil de ver, este método se simplifica apelando a las fórmulas de Vieta: el coeficiente de la es la suma de las raíces cambiada de signo y es su multiplicación).
Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Como las raíces, digamos suman 10, si a cada una le resto 5 podremos lograr transformar la ecuación original en una que no tenga término en . Ello sugiere el cambio de variable que hace . Este cambio de variable resulta en la ecuación simplificada de solución 3 y su opuesto. Dado que encontramos las soluciones restando y sumando, respectivamente, 3 al 5: , .
Ecuaciones incompletas Sin término independiente Son de la forma:
cuyas raíces son:
esto es:
Sin término lineal Son de la forma , cuyas raíces son reales opuestos o imaginarios puros opuestos.
Completa con coeficiente lineal par En este caso aparece como coeficiente del término de primer grado un número par y la ecuación es , siendo las raíces
Completa reducida con coeficiente lineal par En este caso el coeficiente principal es 1; el coeficiente lineal es par y asume la forma cuyas raíces son
Ecuación bicuadrada Estas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencias. Su forma polinómica es:
Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable Con lo que queda: El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:
Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:
Ecuación bicuadrada simétrica Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:
Ecuación bicuadrada antisimétrica Cuando el primer coeficiente y el término independiente son opuestosTsipkin: Op. cit.
Relaciones de raíces y coeficientes Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces , podemos construir el binomio a partir de estas con:
De lo que se deduce:
Suma de raíces
Producto de raíces
Observación:
En el caso de la ecuación se tiene
Hall-Knight: álgebra superior Uteha, México /1982
Relación entre la fórmula general y la proporción áurea solo en la solución real, si en la fórmula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que:
entonces la fórmula general dará como resultado el número áureo
Ecuación trinomia de grado par Es una ecuación de la forma:
donde usualmente:
,
Para resolver se hace la sustitución: de lo siguiente
con lo que resulta la ecuación original como:
Finalmente de:
se hallan los valores de mediante:
con seguridad, en el campo de los números complejos, hay raíces.Adaptación de Álgebra superior de G. M. Bruño
Véase también Completar el cuadrado Función cuadrática
Ecuación de primer grado
Ecuación de tercer grado Ecuación de cuarto grado Ecuación de quinto grado Ecuación de sexto grado Ecuación de séptimo grado Ecuación de octavo grado
Referencias
Enlaces externos Ecuaciones de segundo grado y bicuadradas. Ejercicios de matemáticas. Ecuaciones cuadráticas. Disfruta las matemáticas, Pierce, Rod. La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática Calculadora Ecuación de segundo grado
Categoría:Álgebra elemental Ecuación de 2º grado