thumb|El triángulo es un polígono de tres lados y tres ángulos En geometría plana (en base de la geometría euclidiana), se llama triángulo, trígono o trigonoide al polígono de tres lados. Los puntos comunes a cada par de lados se denominan vértices del triángulo.Moise. Downs: ibídem
Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres partes congruentes de ángulos exteriores,En cada vértice aparecen dos ángulos exteriores congruentes. tres lados y tres vértices entre otros elementos.
Triángulos que no están en un plano Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Elementos 300px|thumb|Triángulo: de lados y de ángulos interiores
Vértices Cada uno de los puntos que determinan un triángulo. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: . Si , no existe triángulo que determine y .
Un triángulo se nombra, entonces, como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, por cualquiera de las 6maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.
Lados Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No importa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo que AB y BA nombran a un mismo lado.
Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.
Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: para BC, para AC, para AB.
La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por p o 2s; cumple la ecuación
Ángulos Cada par de lados con origen común al vértice de un triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior.
La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ prolongados y que concurren en el extremo O es
También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:
El ángulo cuyo vértice coincide con uno de los vértices del triángulo y sus lados: son la prolongación de un lado triangular y el otro lado angular contiene a un lado triangular, se llama ángulo externo. En cada vértice triangular hay dos ángulos externos. Adaptación y afinación de Moise-Downs: Geometría moderna
Clasificación de los triángulos mini|500px|Diagrama de Euler de diversos tipos de triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
Por la medida de sus lados
Por la medida de sus lados, todo triángulo se clasifica en:
Triángulo equilátero, (del latín aequilatĕrus, compuesto de aequus, 'igual' y latus, 'lado', en griego: ἰσόπλευρον, romanizado: isópleuron, literalmente 'lados iguales') cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60grados o radianes).
Triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), son aquellos que tienen al menos dos lados congruentes es decir, iguales. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; lados iguales, ángulos igualesDenis Guedj, El teorema del loro: Novela para aprender matemáticas, trad. francés Consuelo Serra, Colección Compactos, Editorial Anagrama, Barcelona, 2002, ISBN 84-339-6726-6.).
Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.René Benítez. Geometría Plana. ISBN 978-968-24-8157-4
Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, i.e B = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos. Además se cumplen las igualdades
A + 2B = A +2C = 180º;
A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B= A+C
donde son la mediana, altura del lado a y bisectriz de su ángulo A opuesto.Edgar de Alencar. Geometría Plana
Triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
x120px x150px x100px Equilátero Isósceles Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo.Si un triángulo es rectángulo no es oblicuángulo; y cuando un triángulo es oblicuángulo no es rectángulo. Hay dicotomía o una partición del conjunto de los triángulos del plano. c Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°). Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90° o agudos.
Clasificación según los lados y los ángulos del triángulo
Los triángulos acutángulos pueden ser: Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura sobre el lado distinto. En este caso particular se suele llamar base y vértice al lado desigual y al vértice opuesto. Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría. Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).
Los triángulos rectángulos pueden ser: Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto. Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos pueden ser: Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos. Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.
Triángulo equilátero isósceles escaleno acutángulo 120px 120px 120px rectángulo 120px 120px obtusángulo 120px 120px
Clasificación cualitativa de un triángulo
La medida de la calidad de triángulo (abreviada como CT) se determina por el producto de tres factores que se obtienen de la suma de dos de sus lados menos el tercero en forma cíclica, dividido por el producto de sus tres lados; y se representa mediante la siguiente fórmula:
donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo.
Por lo tanto, si CT = 1 es un triángulo equilátero. CT = 0 es un triángulo degenerado. CT > 0.5 es un triángulo de calidad buena.
En otras palabras, la calidad del triángulo se aproxima a cero cuando la distancia euclidiana de uno de sus lados es cercana a cero o cuando los tres puntos del triángulo tienden a ser colineales.
La calidad de los triángulos tiene muchas aplicaciones en los métodos de triangulación como es el caso de la triangulación de Delaunay porque se necesitan generar una serie de puntos en el espacio para que la malla que se genere sea de buena calidad debido a la cantidad de puntos que se encuentran bien distribuidos en un espacio de dos dimensiones porque cuando se le asigne un valor o magnitud a cada punto de la malla la aproximación del triángulo va a tener un error mayor y la solución sería continuar asignando punto en el espacio de dos dimensiones para que la aproximación ser mejor y el error disminuya.
Congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo.
Postulados de congruencia
Triángulo Postulados de congruencia 100px Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida. 100px Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos). 100px Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.
Teoremas de congruencia
Triángulo Teoremas de congruencia Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente.
Congruencia de triángulos rectángulos
Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro. Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto y un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.
Semejanza de triángulos
Criterio AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son congruentes. Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales.
Semejanza de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:
Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro. Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro. Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.
Corona triangular Se consideran dos triángulos semejantes con lados paralelos y con circuncentro común ( centro de la circunferencia circunscrita). La intersección del exterior del triángulo de menor área con el interior del triángulo de mayor área unida con los dos triángulos forma una región en el plano que se llama corona triangular.Donaire Peña: Formas y números ISBN 978-612-45279-9-9