En matemáticas, el análisis de Fourier es el estudio de la forma general en que las funciones pueden ser representados o aproximadas por sumas de funciones trigonométricas simples. El análisis de Fourier surgió del estudio de las series de Fourier y lleva el nombre de Joseph Fourier, quien demostró que representar una función como una suma de funciones trigonométricas simplifica enormemente el estudio de la transferencia de calor.Elias M. Stein, Rami Shakarchi. Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis). (2003) 328 pág. ISBN 069111384X ISBN 978-0691113845

Hoy, el tema del análisis de Fourier abarca un amplio espectro de las matemáticas. En las ciencias y la ingeniería, el proceso de descomposición de una función en componentes oscilatorios a menudo se denomina análisis de Fourier, mientras que la operación de reconstrucción de la función a partir de estas piezas se conoce como síntesis de Fourier. Por ejemplo, determinar qué frecuencias componentes están presentes en una nota musical implicaría calcular la transformada de Fourier de una nota musical muestreada. Luego, se podría volver a sintetizar el mismo sonido al incluir los componentes de frecuencia como se reveló en el análisis de Fourier. En matemáticas, el término análisis de Fourier a menudo se refiere al estudio de ambas operaciones.

El proceso de descomposición en sí se llama transformación de Fourier. Su producto resultado, la transformada de Fourier, a menudo recibe un nombre más específico, que depende del dominio y otras propiedades de la función que se está transformando. Además, el concepto original del análisis de Fourier se ha extendido a lo largo del tiempo para aplicarse a situaciones cada vez más abstractas y generales, y el campo general a menudo se conoce como análisis armónico. Cada transformada utilizada para el análisis (consulte la lista de transformadas relacionadas con Fourier ) tiene una transformada inversa correspondiente que se puede utilizar para la síntesis.

Usos El análisis de Fourier tiene muchos usos científicos - en la física, ecuaciones diferenciales parciales, teoría de números, combinatoria, procesamiento de señales, procesamiento digital de imágenes, teoría de la probabilidad, estadística, análisis forense, valoración de opciones, la criptografía, análisis numérico, acústica, oceanografía, el sonar, óptica, la difracción, geometría, análisis de estructuras de proteínas y otras áreas.

Esta amplia aplicabilidad se debe a muchas propiedades útiles de las transformadas:

Las transformadas son aplicaciones lineales y, con la normalización adecuada, también son unitarias (una propiedad conocida como teorema de Parseval o, más generalmente, como el teorema de Plancherel, y más generalmente a través de la dualidad de Pontryagin). Las transformadas suelen ser invertibles. Las funciones exponenciales son funciones propias de diferenciación, lo que significa que esta representación transforma ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en algebraicas ordinarias. Por lo tanto, el comportamiento de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede analizar en cada frecuencia de forma independiente. Según el teorema de convolución, las transformadas de Fourier convierten la complicada operación de convolución en una multiplicación simple, lo que significa que proporcionan una forma eficiente de calcular operaciones basadas en convolución, como la multiplicación de polinomios y la multiplicación de números grandes. La versión discreta de la transformada de Fourier (ver más abajo) se puede evaluar rápidamente en computadoras usando algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT). En medicina forense, los espectrofotómetros infrarrojos de laboratorio utilizan el análisis de transformada de Fourier para medir las longitudes de onda de la luz a las que un material absorberá en el espectro infrarrojo. El método FT se utiliza para decodificar las señales medidas y registrar los datos de longitud de onda. Y al usar una computadora, estos cálculos de Fourier se llevan a cabo rápidamente, de modo que en cuestión de segundos, un instrumento FT-IR operado por computadora puede producir un patrón de absorción de infrarrojos comparable al de un instrumento de prisma.

La transformación de Fourier también es útil como representación compacta de una señal. Por ejemplo, la compresión JPEG utiliza una variante de la transformación de Fourier (transformada de coseno discreta) de pequeñas piezas cuadradas de una imagen digital. Los componentes de Fourier de cada cuadrado se redondean para reducir la precisión aritmética y los componentes débiles se eliminan por completo, de modo que los componentes restantes se pueden almacenar de forma muy compacta. En la reconstrucción de imágenes, cada cuadrado de la imagen se vuelve a ensamblar a partir de los componentes conservados aproximadamente transformados de Fourier, que luego se transforman a la inversa para producir una aproximación de la imagen original.

Uso en procesamiento de señales Al procesar señales, como audio, ondas de radio, ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes de banda estrecha de una forma de onda compuesta, concentrándolos para una detección o eliminación más fácil. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en transformar una señal de Fourier, manipular los datos transformados de Fourier de una manera simple e invertir la transformación.

Algunos ejemplos incluyen:

Ecualización de grabaciones de audio con una serie de filtros de paso de banda ; Recepción de radio digital sin un circuito superheterodino, como en un teléfono celular moderno o un escáner de radio; Procesamiento de imágenes para eliminar artefactos periódicos o anisotrópicos tales como irregularidades de video entrelazado, artefactos de bandas de fotografías aéreas de bandas o patrones de ondas de interferencias de radiofrecuencia en una cámara digital; Correlación cruzada de imágenes similares para la co-alineación; Cristalografía de rayos X para reconstruir una estructura cristalina a partir de su patrón de difracción; Espectrometría de resonancia ciclotrónica por transformada de Fourier para determinar la masa de iones a partir de la frecuencia del movimiento del ciclotrón en un campo magnético; Muchas otras formas de espectroscopia, incluyendo infrarrojos y de resonancia magnética nuclear espectroscopias; Generación de espectrogramas de sonido utilizados para analizar sonidos; Sonar pasivo utilizado para clasificar objetivos según el ruido de la maquinaria.

Variantes del análisis de Fourier

Transformada de Fourier (continua)

En la mayoría de los casos, el término sin calificar transformación de Fourier se refiere a la transformación de funciones de un argumento continuo real, y produce una función continua de frecuencia, conocida como distribución de frecuencias. Una función se transforma en otra, y la operación es reversible. Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo (), y el dominio de la función de salida (final) es la frecuencia ordinaria, la transformada de la función a la frecuencia viene dada por el número complejo:

Evaluando esta cantidad para todos los valores de se obtiene la función dominio de la frecuencia. Entonces puede representarse como una recombinación de exponenciales complejas de todas las frecuencias posibles:

que es la fórmula de la transformación inversa. El número complejo, , transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia .

Ver Transformación de Fourier para mucha más información, incluyendo: convenciones para la normalización de la amplitud y el escalado de la frecuencia/unidades. propiedades de la transformada transformaciones tabuladas de funciones específicas una extensión/generalización para funciones de múltiples dimensiones, como las imágenes.

Series de Fourier

La transformada de Fourier de una función periódica, , con periodo , se convierte en una función peine de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos:

donde es la integral sobre cualquier intervalo de longitud P.

La transformada inversa, conocida como serie de Fourier, es una representación de en términos de una suma de un número potencialmente infinito de sinusoides o funciones exponenciales complejas relacionadas armónicamente, cada una con una amplitud y una fase especificadas por uno de los coeficientes:

Cualquier puede expresarse como una suma periódica de otra función, :

y los coeficientes son proporcionales a las muestras de en intervalos discretos de :

.A

donde A =

Obsérvese que cualquier cuya transformada tenga los mismos valores muestrales discretos puede utilizarse en el sumatorio periódico. Una condición suficiente para recuperar (y por lo tanto ) a partir de sólo estas muestras (es decir, de la serie de Fourier) es que la porción no nula de esté confinada a un intervalo conocido de duración , que es el dual del dominio de la frecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.

Transformada de Fourier en tiempo discreto

La DTFT es el dual matemático de la serie de Fourier en el dominio del tiempo. Así, una suma periódica convergente en el dominio de la frecuencia puede representarse mediante una serie de Fourier, cuyos coeficientes son muestras de una función temporal continua relacionada:

que se conoce como la DTFT. Así, la DTFT de la secuencia es también la transformada de Fourier de la función peine de Dirac modulada.

También se puede señalar que:

En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función peine de Dirac, que por supuesto sólo es "posible" en un sentido puramente matemático.

Los coeficientes de la serie de Fourier (y la transformada inversa), se definen por:

El parámetro corresponde al intervalo de muestreo, y esta serie de Fourier puede reconocerse ahora como una forma de la fórmula de suma de Poisson. Así tenemos el importante resultado de que cuando una secuencia de datos discretos, , es proporcional a las muestras de una función continua subyacente, , se puede observar un sumatorio periódico de la transformada continua de Fourier, . Nótese que cualquier con los mismos valores discretos de la muestra produce la misma DTFT  Pero bajo ciertas condiciones idealizadas uno puede recuperar teóricamente y exactamente. Una condición suficiente para la recuperación perfecta es que la porción no nula de esté confinada a un intervalo de frecuencia conocido de ancho }}. Cuando ese intervalo es , la fórmula de reconstrucción aplicable es la Fórmula de Interpolación de Whittaker-Shannon. Esta es una piedra angular en los fundamentos del procesamiento digital de señales.

Otra razón para estar interesado en es que a menudo proporciona una visión de la cantidad de aliasing causado por el proceso de muestreo.

Las aplicaciones de la DTFT no se limitan a las funciones muestreadas. Ver Transformada de Fourier en tiempo discreto para más información sobre este y otros temas, incluyendo: unidades de frecuencia normalizadas Ventana (secuencias de longitud finita) propiedades de la transformada transformaciones tabuladas de funciones específicas

Transformada discreta de Fourier (DFT)

De forma similar a una serie de Fourier, la DTFT de una secuencia periódica, , con periodo , se convierte en una función de peine de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos:

    (donde es la suma sobre cualquier secuencia de longitud ).

La secuencia es lo que se conoce habitualmente como la DFT de un ciclo de . También es -periódico, por lo que nunca es necesario calcular más de coeficientes. La transformada inversa, también conocida como serie discreta de Fourier, viene dada por:

  donde es la suma sobre cualquier secuencia de longitud .

Cuando se expresa como una suma periódica de otra función: