Un autómata celular (A.C.) es un modelo matemático y computacional para un sistema dinámico que evoluciona en pasos discretos. Es adecuado para modelar sistemas naturales que puedan ser descritos como una colección masiva de objetos simples que interactúen localmente unos con otros.

Es un modelo matemático para un sistema dinámico que consiste en una rejilla formada por celdas que pueden cambiar de estado o no dependiendo diversas leyes. Es un espacio regular. Tiene un conjunto de estados finito y cada elemento toma un valor de este conjunto de estados. Presenta una función de transición local que es la regla de evolución que determina el comportamiento del autómata.

La definición de un A.C. requiere mencionar sus elementos básicos: Un espacio regular: Ya sea una línea, un plano de 2 dimensiones o un espacio n-dimensional. Cada división homogénea del espacio es llamada célula. Conjunto de Estados: Es finito y cada elemento o célula del espacio toma un valor de este conjunto de estados. También se denomina alfabeto. Puede ser expresado en valores o colores. Configuración Inicial: Es la asignación inicial de un estado a cada una de las células del espacio. Vecindades: Define el conjunto de células que se consideran adyacentes a una dada, así como la posición relativa respecto a ella. Cuando el espacio es uniforme, la vecindad de cada célula es isomorfa (es decir, que tiene el mismo aspecto). Función de Transición Local: Es la regla de evolución que determina el comportamiento del A.C. Se calcula a partir del estado de la célula y su vecindad. Define cómo debe cambiar de estado cada célula dependiendo su estado anterior y de los estados anteriores de su vecindad. Suele darse como una expresión algebraica o un grupo de ecuaciones.

Se clasifican principalmente de la siguiente manera: Clase I: Lleva a un estado homogéneo perdiendo la aleatoriedad del estado inicial. Clase II: Se generan estructuras cíclicas, separadas y simples. Los cambios en la configuración inicial sólo afectan una región finita de células cercanas Clase III: Casi todos los patrones iniciales evolucionan de forma caótica. Los cambios en la configuración inicial tienden a propagarse indefinidamente. Clase IV: Se producen estructuras complejas no explicadas por las clases anteriores. Tienen combinación de patrones cíclicos y comportamiento aleatorio

Son sistemas descubiertos dentro del campo de la física computacional por John von Neumann en la década de 1950. La teoría de los autómatas celulares se inicia con su precursor John von Neumann a finales de la década de 1940 con su libro Theory of Self-reproducing Automata (editado y completado por A. W. Burks).

Aunque John von Neumann puso en práctica los AA.CC., estos fueron concebidos en los años 40 por Konrad Zuse y Stanislaw Ulam. Zuse pensó en los “espacios de cómputo” (computing spaces), como modelos discretos de sistemas físicos. Las contribuciones de Ulam vinieron al final de los 40, poco después de haber inventado con Nicholas Metropolis el Método de Montecarlo.

¿Qué compone a un autómata celular?

Su característica principal es su capacidad de lograr una serie de propiedades emergentes que surgen de la propia dinámica local a través del tiempo y no desde un inicio. Por lo tanto, no es fácil predecir las propiedades globales de un AC desde su comienzo, siendo complejo por naturaleza. La definición de un AC requiere mencionar sus elementos básicos:

Un espacio celular Conjunto de Estados Vecindades. Reglas de transición.

La geometría de las vecindades es el conjunto de células que rodea a una célula que se está analizando. Existen dos tipos comunes de vecindades en los AC de espacio bidimensional con rejilla cuadrada: Von-Neuman. Considera 4 células vecinas, es decir, la de arriba, abajo, izquierda y derecha. Moor. Considera 8 células vecinas, incluyendo las de la vecindad de Von Neumann más las cuatro esquinas.

Descripción

No existe una definición formal y matemática aceptada de autómata celular; sin embargo, se puede describir a un A.C. como una tupla, es decir, un conjunto ordenado de objetos caracterizado por los siguientes componentes: Una rejilla o cuadriculado (lattice) de enteros (conjunto ) infinitamente extendida, y con dimensión . Cada celda de la cuadrícula se conoce como célula. Cada célula puede tomar un valor en a partir de un conjunto finito de estados . Cada célula, además, se caracteriza por su vecindad, un conjunto finito de células en las cercanías de la misma. De acuerdo con esto, se aplica a todas las células de la cuadrícula una función de transición ( ) que toma como argumentos los valores de la célula en cuestión y los valores de sus vecinos, y regresa el nuevo valor que la célula tendrá en la siguiente etapa de tiempo. Esta función se aplica, como ya se dijo, de forma homogénea a todas las células, por cada paso discreto de tiempo.

Condiciones de frontera miniatura|200px|derecha|Topología del autómata celular de 2D plegado en 3D para el caso de frontera periódica. Por definición, un A.C. consiste en una retícula infinita de enteros. Sin embargo, para cuestiones prácticas (como en modelos de sistemas físicos llevados a cabo en ordenadores de memoria finita), se requiere tomar ciertas consideraciones a la hora de implementar un A.C. Por ello, la definición original se modifica para dar cabida a retículas finitas en las que las células del A.C. interactúen. Esto conlleva la consideración extra de lo que debe suceder con aquellas células que se encuentren en los bordes de la retícula. A la implementación de una o varias consideraciones específicas se le conoce como condición de frontera.

Dentro del ámbito de los A.C., se pueden implementar numerosas condiciones de frontera, en función de lo que el problema real requiera para su modelado. Por ejemplo: Frontera abierta. Se considera que fuera de la lattice residen células, todas con un valor fijo. En el caso particular del juego de la vida y de otros A.C. con dos estados en su conjunto , una frontera se dice fría si las células fuera de la frontera se consideran muertas, y caliente si se consideran vivas. Frontera periódica. Se considera a la lattice como si sus extremos se tocaran. En una lattice de dimensión 1, esto puede visualizarse en dos dimensiones como una circunferencia. En dimensión 2, la lattice podría visualizarse en tres dimensiones como un toroide. Frontera reflectora. Se considera que las células fuera de la lattice "reflejan" los valores de aquellas dentro de la lattice. Así, una célula que estuviera junto al borde de la lattice (fuera de ella) tomaría como valor el de la célula que esté junto al borde de la lattice, dentro de ella. Sin frontera. Haciendo uso de implementaciones que hagan crecer dinámicamente el uso de memoria de la lattice implementada, se puede asumir que cada vez que las células deben interactuar con células fuera de la lattice, esta se hace más grande para dar cabida a estas interacciones. Obviamente, existe un límite (impuesto por la memoria disponible) para esta condición. Es muy importante no confundir esta condición de frontera con la definición original de A.C. cuya lattice es inicialmente infinita. En el caso de un A.C. sin frontera, la lattice comienza con un tamaño definido y finito, y conforme se requiera va creciendo en el tiempo, lo cual no lo hace necesariamente un modelo más cercano a la realidad, pues si se inicializara la lattice aleatoriamente, con esta condición sólo se pueden inicializar las células dentro de la lattice inicial finita, mientras que en el caso de la definición original, en teoría todas las células de la lattice infinita deberían ser inicializadas.

Variaciones Los A.C. pueden variar en alguna de las características antes mencionadas, derivando en autómatas celulares no estándar.

Por ejemplo, un A.C. estándar tiene una cuadrícula donde se asume que las células son cuadros; es decir, que la retícula tiene una geometría cuadrada. Esto no es necesariamente un requisito, y se puede variar el A.C. para presentar una geometría triangular o hexagonal (en A.C. de 2 dimensiones, el cuadrado, el triángulo y el hexágono son las únicas figuras geométricas que llenan el plano).

También puede variarse el conjunto de estados que cada célula puede tomar, la función de transición de forma que ya no sea homogénea, utilizar elementos estocásticos (aleatoriedad) en (lo que se conoce como A.C. probabilístico), variar las vecindades de cada célula, etc.

Complejidad de un autómata celular La complejidad de un autómata celular se determina conforme aumenta su dimensionalidad (lineal, plano, espacio, etc), pues el número de posibles vecinos incrementa de acuerdo a las geometrías o distribuciones espaciales en las que se genere. Para el caso de una dimensión cada célula tendrá solo 2 vecinos, en dos dimensiones (o plano) contara con 4 vecinos (arriba, abajo, izquierda, derecha), 8 vecinos si se toman en cuenta las diagonales y en 3D llegara a tener hasta posibles 26 vecinos.

Ventajas y desventajas

Ventajas 1. Simplicidad y Universalidad: A pesar de sus reglas locales simples, los autómatas celulares pueden exhibir comportamientos complejos y universales, lo que significa que pueden modelar una amplia gama de fenómenos.

2. Escalabilidad: Pueden ser implementados en sistemas informáticos con un alto grado de paralelismo, permitiendo la simulación eficiente de grandes sistemas complejos.

3. Flexibilidad: Pueden aplicarse en múltiples campos, incluyendo física, biología, informática y matemáticas, lo que los convierte en un marco versátil para estudiar diferentes sistemas.

4. Intuición y Visualización: La representación gráfica de la evolución de los autómatas celulares permite una fácil interpretación y visualización de los patrones emergentes.

Desventajas 1. Sensibilidad a Condiciones Iniciales: Algunos autómatas celulares pueden ser altamente sensibles a las condiciones iniciales y las reglas locales, lo que hace que pequeñas variaciones puedan resultar en cambios significativos en la evolución del sistema.

2. Interpretación y Análisis: La interpretación de los comportamientos emergentes en autómatas celulares puede ser desafiante, especialmente en sistemas grandes o altamente dinámicos.

3.Limitaciones en Modelado Preciso: Aunque son buenos para modelar comportamientos generales, pueden no ser adecuados para representar con precisión sistemas específicos con reglas más complejas o interacciones no locales.

4. Requisitos Computacionales: Algunos autómatas celulares pueden requerir una cantidad considerable de recursos computacionales, especialmente cuando se simulan a gran escala o con reglas complejas.

Historia

La historia de los autómatas celulares puede ser clasificada en tres etapas asociadas a los nombres de los científicos que en cada momento marcaron un punto de inflexión en el desarrollo de la teoría: la era de Von Neumann, la era de John Horton Conway y la era de Stephen Wolfram.

Era de Von Neumann