Un espacio vectorial topológico es un espacio de puntos que aúna la estructura típica de un espacio vectorial convencional y de un espacio topológico, es decir, es un espacio vectorial sobre el que se ha definido una estructura topológica.
Probablemente los ejemplos más sencillos son el plano euclídeo y el espacio euclídeo, en los que la topología se define mediante la distancia euclídea. El conjunto de bolas abiertas consistentes en el conjunto de puntos que equidistan de uno dado menos de una cierta distancia son una colección de conjuntos que permite construir la base de la topología. Además de este ejemplo, los espacios normados como los espacios de Hilbert o los espacios de Sobolev son otros ejemplos de espacios topológicos más complicados (estos últimos suelen tener dimensión infinita y se usan en análisis funcional).
Definición Un espacio vectorial topológico es un espacio vectorial sobre un cuerpo , dotado de una topología donde los puntos son cerrados y de tal manera que las aplicaciones:
y
son continuas (usando en los productos cartesianos las respectivas topologías producto) respecto a la topología .
Visión general En matemáticas, un espacio vectorial topológico (también llamado espacio topológico lineal y comúnmente abreviado como EVT o e.v.t.) es uno de los elementos básicos de las estructuras investigadas en análisis funcional.
Un espacio vectorial topológico es un tipo de espacio vectorial que también es un espacio topológico, con la propiedad de que las operaciones en el espacio vectorial (suma de vectores y multiplicación escalar) también son funciones continuas. Tal topología se llama y cada espacio vectorial topológico tiene un estructura topológica uniforme, lo que permite establecer las nociones de convergencia uniforme y de completitud. Algunos autores también requieren que el espacio en cuestión sea un espacio de Hausdorff (aunque este artículo no lo hace). Una de las categorías de EVT más estudiadas son los espacios localmente convexos. Este artículo se centra en los EVT que no son necesariamente localmente convexos. El espacio de Banach, el espacio de Hilbert y el espacio de Sóbolev son otros ejemplos bien conocidos de EVT.
Muchos espacios vectoriales topológicos son espacios de funciones, o de operadores lineales que actúan sobre espacios vectoriales topológicos, y la topología a menudo se define para capturar una noción particular de convergencia de secuencias de funciones.
En este artículo, se supondrá que el cuerpo escalar de un espacio vectorial topológico es el de los números complejos o el de los números reales a menos que se indique claramente lo contrario.
Motivación
Espacios normados
Cada espacio vectorial normado tiene una estructura topológica natural: la norma induce una métrica y la métrica induce una topología.
Se trata de un espacio vectorial topológico porque: La aplicación suma de vectores definida por es (conjuntamente) continua con respecto a esta topología. Esto se desprende directamente de la desigualdad triangular cumplida por la norma. La aplicación multiplicación escalar definida por donde el cuerpo escalar subyacente de es (conjuntamente) continuo. Esto se desprende de la desigualdad triangular y de la homogeneidad de la norma.
Por lo tanto, todos los espacios de Banach y de Hilbert son ejemplos de espacios vectoriales topológicos.
Espacios no normados
Existen espacios vectoriales topológicos cuya topología no está inducida por una norma, pero que aún son de interés en análisis. Ejemplos de este tipo son los espacios de funciones holomorfas en un dominio abierto, los espacios de funciones infinitamente diferenciables, los espacios de Schwartz y los espacios de funciones de prueba, así como los espacios de distribuciones en ellos. Todos ellos son ejemplos de espacios de Montel. Un espacio de Montel de dimensión infinita nunca es normal. La existencia de una norma para un espacio vectorial topológico dado se caracteriza por el criterio de normabilidad de Kolmogórov.
Un cuerpo es un espacio vectorial topológico sobre cada uno de sus subcuerpos.
Definición
Un espacio vectorial topológico (EVT) es un espacio vectorial sobre un cuerpo (por lo general, los números reales o los números complejos con sus topologías estándar) que está dotado de una topología tal que la suma de vectores y la multiplicación escalar son funciones continuas (donde los dominios de estas funciones están dotados de topologías producto). Esta topología se denomina topología vectorial o topología de un EVT en
Todo espacio vectorial topológico es también un grupo topológico conmutativo bajo la suma.
Suposición de Hausdorff
Muchos autores (por ejemplo, Walter Rudin), pero no en este artículo, requieren que la topología de sea T1. Entonces, se deduce que el espacio es de Hausdorff, e incluso de Tíjonov. Se dice que un espacio vectorial topológico es separado si es de Hausdorff. Es importante destacar que separado no significa separable. Las estructuras algebraicas topológica y lineal se pueden vincular aún más estrechamente con supuestos adicionales, los más comunes de los cuales se enumeran más adelante.
Categoría y morfismos
La categoría de los espacios vectoriales topológicos sobre un cuerpo topológico dado se denota comúnmente como o Los objetos son los espacios vectoriales topológicos sobre y los morfismos son los operadores lineales continuos de un objeto a otro.
Un (abreviado, ), también llamado , es una aplicación lineal continua entre espacios vectoriales topológicos (EVT) de modo que la aplicación inducida es una función abierta cuando que es el rango o imagen de recibe la topología del subespacio inducida por
Un (abreviado como ), también llamado , es un homomorfismo topológico injectivo. De manera equivalente, un embebido de un EVT es una aplicación lineal que también es un embebido.
Un (abreviado ), también llamado o , es un homeomorfismo biyectivo lineal. De manera equivalente, es un EVT sobreyectivo embebido.
Muchas propiedades de los EVTs que se estudian, como la convexidad local, la metrizabilidad, la completitud y la normabilidad, son invariantes bajo los isomorfismos de un EVT.
Condición necesaria para una topología vectorial
Una colección de subconjuntos de un espacio vectorial se llama si para cada existe algún tal que
En consecuencia, todas las condiciones anteriores son necesarias para que una topología forme una topología vectorial.
Definición de topologías utilizando entornos del origen
Dado que cada topología vectorial es invariante respecto a la traslación (lo que significa que para todo la aplicación definida por es un homeomorfismo), para definir una topología vectorial es suficiente definir una base de entornos (o subbase) para ella en el origen.
En general, el conjunto de todos los subconjuntos equilibrados y absorbentes de un espacio vectorial no satisface las condiciones de este teorema y no forma una base de entorno en el origen de ninguna topología vectorial.
Definición de topologías usando cadenas
Sea un espacio vectorial y sea una secuencia de subconjuntos de Cada conjunto de la secuencia se denomina nudo de y para cada índice se denomina -ésimo nudo de El conjunto se llama principio de La secuencia es un:
Sumatorio si para cada índice Equilibrado (respectivamente, absorbente, cerrado,Las propiedades topológicas, por supuesto, también requieren que sea un EVT. convexo, abierto, simétrico, barrilado, absolutamente convexo/discado, etc.) si esto es cierto para cada Cadena si es sumativo, absorbente y equilibrado. Cadena topológica o una cadena de entornos en un EVT si es una cadena y cada uno de sus nudos es un entorno del origen en
Si es un disco absorbente en un espacio vectorial , entonces la secuencia definida por forma una cadena que comienza con Esto se denomina cadena natural de . Además, si un espacio vectorial tiene dimensión numerable, entonces cada cadena contiene una cadena absolutamente convexa.
Las secuencias sumativas de conjuntos tienen la propiedad particularmente conveniente de que definen funciones subaditivas continuas y no negativas de valor real. En consecuencia, estas funciones se pueden utilizar para demostrar muchas de las propiedades básicas de los espacios vectoriales topológicos.
En el artículo sobre espacios vectoriales topológicos metrizables se ofrece una prueba del teorema anterior.
Si y son dos colecciones de subconjuntos de un espacio vectorial , y si es un escalar, entonces por definición:
contiene : si y solo si para cada índice Conjunto de nudos: Núcleo: Múltiplo escalar: Suma: Intersección':
Si es una colección de secuencias de subconjuntos de entonces se dice que está dirigido (hacia abajo) bajo inclusión o simplemente dirigido hacia abajo si no está vacío y para todo existe algún tal que y (dicho de otra manera, si y solo si es un prefiltro con respecto a la contención definida anteriormente).
Notación: Sea el conjunto de todos los nudos de todas las cadenas en
Definir topologías vectoriales utilizando colecciones de cadenas es particularmente útil para definir clases de EVTs que no son necesariamente localmente convexos.
Si es el conjunto de todas las cadenas topológicas en un EVT , entonces Un EVT de Hausdorff es metrizable si y solo si su topología puede ser inducida por una única cadena topológica.
Estructura topológica
Un espacio vectorial es un grupo abeliano con respecto a la operación suma, y en un espacio vectorial topológico la operación inversa siempre es continua (ya que es lo mismo que la multiplicación por ). Por lo tanto, todo espacio vectorial topológico es un grupo topológico abeliano. Cada EVT es un espacio de Tíjonov, pero no es necesario que un EVT sea normal.
Sea un espacio vectorial topológico. Dado un subespacio el espacio cociente con la topología cociente habitual es un espacio vectorial topológico de Hausdorff si y solo si es cerrado.En particular, es de Hausdorff si y solo si el conjunto es cerrado (esto es, es un espacio T1). Esto permite la siguiente construcción: dado un espacio vectorial topológico (que puede no ser de Hausdorff), formar el espacio cociente donde es el cierre de es entonces un espacio vectorial topológico de Hausdorff que puede estudiarse en lugar de
Invariancia de topologías vectoriales
Una de las propiedades más utilizadas de las topologías vectoriales es que son : Para todos los la aplicación definida por es un homeomorfismo, pero si , entonces no es lineal y, por lo tanto, no es un isomorfismo en un EVT. La multiplicación escalar por un escalar distinto de cero es un isomorfismo en un EVT. Esto significa que si , entonces la aplicación lineal definida por es un homeomorfismo. El uso de produce la aplicación negativa definida por que, en consecuencia, es un homeomorfismo lineal y, por lo tanto, un isomorfismo en un EVT.
Si y cualquier subconjunto entonces , y además, si , entonces es un entorno (respectivamente, entorno abierto, entorno cerrado) de en si y solo si lo mismo ocurre con en el origen.
Nociones locales
Se dice que un subconjunto de un espacio vectorial es: Absorbente (en ): si para cada existe un real tal que para cualquier escalar que satisfaga Equilibrado o en un círculo: si para cada escalar Convexo: si para cada real Un disco o absolutamente convexo: si es convexo y equilibrado. Simétrico: si o equivalente, si
Cada entorno del origen es un conjunto absorbente y contiene un entorno [Conjunto equilibrado|equilibrado]] abierto de , por lo que cada espacio vectorial topológico tiene una base local de absorción y es un conjunto equilibrado. El origen incluso tiene una base de entornos que consta de entornos de equilibrados y cerrados. Si el espacio es localmente convexo, entonces también tiene una base de entornos que consta de entornos del origen equilibrados, convexos y cerrados.
Subconjuntos acotados