En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es:
.
right|thumb|280px|La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión; adosando sucesivamente cuadrados de lado 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. thumb|280px|Gráfica de la sucesión de Fibonacci hasta La sucesión comienza con dos números naturales (dependiendo de la referencia, con 0 y 1 en ciertos casos, otras inician con 1 y 1) y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática, tendencias bursátiles y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco, en la configuración de las piñas de las coníferas, en la reproducción de varias especies, en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus, dinámica de los huracanes, organización de las galaxias, proporciones del cuerpo humano, sus partes y subpartes y en cómo el ADN codifica el crecimiento de las formas orgánicas complejas.
Historia La sucesión fue descrita y dada a conocer en occidente por Fibonacci ejemplificándolo con la solución a un problema de la cría de conejos, dando inicio a ese simpático mito de que así la descubriera.
Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, o Leonardo Bigollo, también conocido como Fibonacci, nació en 1170 y murió en 1240. Fue un divulgador y estudioso de la matemática indo-arábiga aprendida en Alejandría, Argel, Bujía y otras ciudades del mediterráneo sur, exponiendo múltiples aplicaciones prácticas de una matemática desconocida en Occidente, como los numerales árabes (con un sistema de numeración decimal, notación posicional y un dígito de valor nulo: el cero), con énfasis en su uso en contabilidad, física y pedagogía y disciplina matemática, tanto que la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente en agradecimiento a sus servicios asesorando en materias de contabilidad a la ciudad y enseñado a los ciudadanos.
Antes de ser conocida en Occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en la matemática en la India, en conexión con la prosodia sánscrita.
Susantha Goonatilake sugiere que el desarrollo de la secuencia de Fibonacci «es atribuido en parte a Pingala (año 200), posteriormente asociado con Virahanka (hacia el año 700), Gopāla (hacia 1135) y Hemachandra (hacia 1150)». Parmanand Singh cita a Pingala (hacia 450) como precursor en el descubrimiento de la secuencia.
Aplicación de las secuencias de Fibonacci aplicadas al ejemplo de los conejos:
Número de mes Explicación de la genealogía Parejas de conejos Comienzo del mes 1 Nace una pareja de conejos (pareja A). 1 pareja en total. Fin del mes 1 La pareja A tiene un mes de edad. Se cruza la pareja A. 1+0=1 pareja en total. Fin del mes 2 La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. 1+1=2 parejas en total. Nota: al contar la cantidad de letras distintas en cada mes, se puede saber la cantidad de parejas totales que hay hasta ese mes.
thumb|220px|Página del Liber Abaci de Fibonacci de la Biblioteca Nacional Central de Florencia mostrando (en un recuadro a la derecha) la sucesión de Fibonacci con las posiciones de la secuencia etiquetadas en números romanos y en latín; y el valor de los números en cifras arábigas.
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos se acerca a la relación áurea fi () cuando tiende a infinito. Esta sucesión tuvo popularidad en el especialmente en el ámbito musical, en el que compositores con tanto renombre como Béla Bartók, Olivier Messiaen, la banda Tool y Delia Derbyshire la utilizaron para la creación de acordes y de nuevas estructuras de frases musicales.
Definición recurrente Los números de Fibonacci quedan definidos por las ecuaciones
Con n≥2.
Esto produce los siguientes números:
y así sucesivamente.
Si bien, en algunas publicaciones se omite en la presentación el término , y en otras se inicia con , la definición usual inicia con con lo cual los valores coinciden con los valores de la cantidad de conejos en los primeros dos meses, en el problema correspondiente del Liber Abaci.
Función generadora Una función generadora ordinaria para una sucesión cualquiera es la serie formal de potencias , donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen la función generadora:
Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:
Fórmula explícita La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir: se necesitan calcular todos los términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores) notando que las ecuaciones , y definen la relación de recurrencia
con las condiciones iniciales y
El polinomio característico de esta relación de recurrencia es , y sus raíces son
De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma .
Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes y satisfacen la ecuación anterior cuando y , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones
Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene
Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como
Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo
de manera que la ecuación se reduce a
Esta fórmula, conocida como fórmula de Binet se le atribuye al matemático francés Édouard Lucas, y es fácilmente demostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional . De hecho, la relación con este número es estrecha.
Observando los valores que adoptan los dos sumandos de la fórmula , se comprueba que el segundo sumando siempre tiene un valor absoluto menor que , y va cambiando de signo sucesivamente, compensando la parte no entera, irracional, que tiene el primer sumando, para que la suma de dos números irracionales dé un número natural.
Teniendo en cuenta entonces que ese segundo sumando de la fórmula es siempre un número de valor absoluto menor que , (el máximo valor absoluto es para , aproximadamente ), la fórmula puede escribirse, eliminando este segundo sumando, así:
o lo que es lo mismo, empleando el número áureo :
Forma matricial Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones
Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como
Conociendo a y , al aplicar la fórmula anterior veces se obtiene
Los autovalores de la matriz , son precisamente y , (el número áureo ; y el negativo de su inverso o conjugado ); y sus autovectores y .
Aplicando técnicas de descomposición espectral de la matriz, utilizando sus autovalores, y la base de sus autovectores, o diagonalizando la matriz, se puede substituir o simplificar la operación de potenciación de la matriz, y obtener, por otros dos métodos, la fórmula explícita que proporciona el término general de la sucesión.
También se verifica
Esta igualdad puede probarse mediante inducción matemática.
Propiedades de la sucesión thumb|Al construir bloques cuya longitud de lado sean números de Fibonacci se obtiene un dibujo que se asemeja al rectángulo áureo (véase Número áureo). Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci QuarterlyFibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a la amplitud con la que los números de Fibonacci aparecen en matemática y sus aplicaciones en otras áreas. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes: La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo. Es decir:
Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite. Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, , . Tan solo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo , para cualquier . La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet (de Jacques Binet). Si y , entonces y Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después. Es decir
Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces este número menos el número 2 posiciones más atrás.
La suma de los primeros números es igual al número que ocupa la posición menos uno. Es decir
Otras identidades interesantes incluyen las siguientes:
Si , entonces para cualquier
(Identidad de Cassini)
thumb|Phi forma parte de una expresión de la sucesión de Fibonacci.
(con φ = número áureo) o, despejando f(n+1) y aplicando 1/φ = φ-1:
El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Más específicamente
Esto significa que y son primos relativos y que divide exactamente a Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal. Es decir que para cualquier , thumb|right|360px|Los números de Fibonacci son la suma de las diagonales (marcadas en rojo) del triángulo de Pascal.
y más aún
Si , tal que es un número primo, entonces también es un número primo, con una única excepción, ; 3 es un número primo, pero 4 no lo es. La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente . La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie. El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números. Al surgir la sucesión de Fibonacci de la suma de las diagonales del triángulo de Pascal. Se puede caracterizar también a (el número áureo) con base en estas sumas. Representando el límite en el infinito de la razón entre las sumas de las diagonales pares del triángulo y las sumas de las diagonales impares ; de esta forma: o ForoRinconMatematico
Generalización thumb|Gráfica de la sucesión de Fibonacci extendida al campo de los números reales.