270px|thumb|No existe un método geométrico que permita la cuadratura del círculo, es decir, relacionar un círculo y un cuadrado de igual área utilizando solo una regla y un compás.
La cuadratura del círculo (también, cuadrar el círculo) es uno de los tres problemas clásicos de la matemática antigua. La tarea geométrica consiste en construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado mediante un número finito de pasos. Es un problema equivalente a la rectificación de la circunferencia, es decir, a la construcción de un segmento recto con la misma longitud que una circunferencia dada. Ambas cuestiones a su vez están vinculadas a la construcción del número π (la mitad de la longitud de una circunferencia con un radio igual a la unidad) a partir de un segmento cuya longitud es igual a unidad de longitud. Si se restringen los medios de construcción a regla y compás, la tarea no se puede resolver debido a la trascendencia del número . No fue hasta 1882 que el matemático alemán Carl Louis Ferdinand von Lindemann pudo demostrarlo.
Es uno de los problemas más populares de las matemáticas. Durante siglos, tanto matemáticos profesionales como aficionados buscaron en vano una solución. El término cuadrar el círculo se ha convertido en una metáfora en muchos idiomas para describir una tarea sin solución. la ~ del círculo. 1. f. coloq. U. para indicar la imposibilidad de algo.
Historia
Prehistoria mini|upright|Método de aproximación de Ahmes (del Papiro de Ahmes): Un círculo con diámetro 9 inscrito en un cuadrado con longitud de lado 9, que se divide en nueve cuadrados más pequeños con longitud de lado 3. El área del círculo corresponde aproximadamente a la de un octágono (irregular) (de 7x9) y algo más precisamente, a la de un cuadrado con una longitud de lado 8 (64)
Ya existían procedimientos para calcular aproximadamente áreas circulares en las antiguas culturas de oriente. Por ejemplo, en el Papiro de Ahmes (alrededor de 1650a.C.) se puede ver el diámetro de un círculo dividido en 9 partes. Su área exacta en estas unidades es . Este valor se aproxima a un cuadrado de longitud lado 8, es decir, . En un segundo método, el círculo se aproxima mediante un octógono irregular. Para ello, se cortan triángulos iguales con un total de 18 unidades de área del cuadrado de 9×9 en el que está inscrito, de modo que quedan 63. Dichas soluciones se obtuvieron empíricamente y estaban destinadas a la práctica, sin más consideraciones teóricas. En particular, no se hizo distinción entre la solución exacta y la aproximación.
Los primeros procedimientos deductivos basados en las matemáticas, en los que las demostraciones estaban respaldadas por teoremas se desarrollaron a partir del en Grecia. Hasta cierto punto, ya se pueden vislumbrar en Tales de Mileto, y más claramente en la escuela de los pitagóricos fundada por Pitágoras.Árpád Szabó: Wie ist die Mathematik zu einer deduktiven Wissenschaft geworden? In: Jean Christianidis (Hrsg.): Classics in the History of Greek Mathematics. Boston Studies in the Philosophy of Science, Band 240, Springer Science & Business Media, 2013, S. 68 ff. () Con el descubrimiento de los inconmensurables, comúnmente atribuido al pitagórico Hípaso de Metaponto a finales del o principios del , se constató que hay objetos construibles con regla y compás (como por ejemplo, la diagonal de un cuadrado) que no se pueden representar como un cociente de números enteros. Este hecho se convirtió en un descubrimiento notable, ya que hasta entonces los únicos tipos de números conocidos eran los enteros y las proporciones enteras (en el lenguaje actual, los "números racionales"), y en consecuencia se había pensado que todas las líneas geométricas tenían que ser conmensurables, es decir, tenían que tener una relación de longitud entera entre sí. En consecuencia, se comprobó que era posible construir geométricamente longitudes que no podían representarse de forma aritmética como un "número" en el sentido anterior (en el uso lingüístico actual, son los "números irracionales"). De repente, la geometría podía representar más de lo que podía representar la aritmética.Wolfgang Tzschoppe: 2.3 Die Zahlengerade füllt sich. In: Struktur der Mathematik - Mathematik der Strukturen. Books on Demand, 2012, S. 40 ff. ()Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: 4.1.1 Ein kurzer historischer Überblick. In: Elementare Analysis: Von der Anschauung zur Theorie. Springer-Verlag, 2010, S. 107 ff. () Como resultado de este descubrimiento, la aritmética pasó a un segundo plano a favor de la geometría. A partir de entonces, las ecuaciones tendrían que resolverse geométricamente, por ejemplo, colocando figuras una al lado de la otra y convirtiéndolas en rectángulos o cuadrados. Los tres problemas clásicos de construcción de las matemáticas antiguas datan de finales del : además de cuadrar el círculo, la tarea de la trisección del ángulo y el problema de Delos (consistente en duplicar un cubo).
En general, no se exigía una restricción de los medios de construcción a la regla y el compás. Desde el principio, se encontraron soluciones a los tres problemas clásicos basados en ayudas adicionales. Sin embargo, con el paso del tiempo surgió la tendencia de imponer restricciones más rígidas, y ya en la época de Papo de Alejandría se había impuesto este criterio.Arthur Donald Steele: Über die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik. In: Oskar Becker (Hrsg.): Zur Geschichte der griechischen Mathematik; Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1965, S. 146–202
Primeros trabajos Según el escritor griego Plutarco, el filósofo Anaxágoras fue uno de los primeros en haber "escrito sobre la cuadratura del círculo mientras estuvo en prisión" ("escrito" o posiblemente "dibujado", del griego "ἔγραφε"),Helmuth Gericke: 4. Die Quadratur des Kreises; Mathematik in Antike und Orient, Springer-Verlag, 2013, S. 94 () aunque no proporciona más detalles sobre la construcción de Anaxágoras. El encarcelamiento de Anaxágoras se produjo alrededor del 430 a.C., cuando el filósofo fue acusado de asebeia (irreverencia hacia dioses y antepasados) en Atenas.Paul Deussen: Anaxagoras. Allgemeine Geschichte der Philosophie. Band 2. F.A. Brockhaus, Leipzig 1911, S. 124 ff. ()
Las fuentes más detalladas sobre los inicios de la investigación son principalmente comentarios de la antigüedad tardía sobre trabajos de Aristóteles, es decir, textos que se escribieron con una diferencia de aproximadamente 900 años. En consecuencia, el orden cronológico y los procesos de pensamiento exactos de los primeros enfoques son inciertos. Las obras más importantes del Provienen de Hipócrates de Quíos, Antifonte, Brisón de Heraclea e Hipias de Élide.Albin Lesky: Die Aufklärung und ihre Gegner: Die Fachwissenschaften. Geschichte der griechischen Literatur. Walter de Gruyter, 2015, S. 545 ()
mini|"Lúnulas de Hipócrates": el área de las "lúnulas" verdes equivale a la del triángulo rectángulo
La conversión de triángulos en rectángulos, de rectángulos en cuadrados (cuadratura del rectángulo) o la suma de dos cuadrados (teorema de Pitágoras) eran prácticas elementales con los teoremas geométricos conocidos. Alrededor del 440a.C., Hipócrates de Quíos dio un ejemplo de un área curvilíneamente limitada que podía convertirse exactamente en un cuadrado. Basado en el teorema, que todavía usaba como axioma, de que las áreas de segmentos similares de un círculo se comportan como los cuadrados sobre sus cuerdas, Hipócrates logró cuadrar áreas delimitadas por arcos circulares, las llamadas "lúnulas de Hipócrates".Oskar Becker: 3. Lunulae Hippocratis; Das mathematische Denken der Antike, Göttingen Vandenhoeck & Ruprecht, 1966, S. 58 () Sin embargo, la cuadratura del círculo no se puede lograr de esta manera, ya que solo se pueden cuadrar ciertas lúnulas (como las construidas sobre los lados de un cuadrado), pero no es posible hacerlo a partir de los lados de un hexágono regular. En el Chebotariov y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonhard Euler en el . De esta forma quedó de manifiesto que la cuadratura de la lúnula no era otra cosa que una solución excepcional de un problema irresoluble, cosa que confundió a los matemáticos durante siglos, creyendo que las lúnulas podrían acercarlos a la cuadratura del círculo.
El hecho de que los triángulos (y por lo tanto los polígonos) pudieran convertirse en un cuadrado fue un segundo enfoque para construir un polígono con la misma área que el círculo. Antifonte tuvo la idea de aproximar el círculo con polígonos inscritos. Brisón de Heraclea refinó este procedimiento aproximando adicionalmente el círculo con polígonos circunscritos y formando un valor intermedio.Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: Möndchenquadratur des Hippokrates. 5000 Jahre Geometrie: Geschichte Kulturen Menschen. Springer-Verlag, 2013, S. 48 ()
Hipias de Élide ideó alrededor del 425a.C. un procedimiento para resolver la trisección angular mediante una curva que se generó mecánicamente superponiendo un movimiento circular con uno lineal. Cien años después, Dinóstrato descubrió que con la ayuda de esta curva, conocida como cuadratriz de Hipias, se puede construir el segmento de longitud y por lo tanto, también un cuadrado de área con la ayuda de más construcciones elementales. Sin embargo, dado que la circunferencia en sí es una curva trascendente, no es posible obtener su desarrollo con regla y compás exclusivamente, por lo que no se logró hallar la solución buscada en sentido estricto.James Gow: A Short History of Greek Mathematics, Franco von Lüttich. 1884, Reprint: Cambridge University Press, 2010, S. 162–164 ()Jean-Paul Delahaye: Geschichte der Zahl zur Zeit der Geometrie; — Die Story: Aus dem Französischen von Manfred Stern. Springer-Verlag, 2013, S. 71 ff. ()
Arquímedes mini|Cuadratura del círculo con ayuda de la espiral: A denota el punto de la espiral alrededor del origen O, al que llega después de la primera vuelta. La tangente a la espiral en este punto corta a la perpendicular a OA en B. Según Arquímedes, el segmento BO es igual a la circunferencia del círculo con radio OA, por lo que el área del círculo rojo es igual al área del triángulo azul
Un tratado detallado con el título "Medición circular" nos ha llegado de Arquímedes,In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath: Measurement of a Circle. The works of Archimedes. ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897, S. 91 ff.; Digitalisat (PDF) quien demostró tres teoremas básicos en este trabajo:
El área de un círculo es igual al área de un triángulo rectángulo con el radio del círculo como uno de sus catetos y la circunferencia como el otro. El área del círculo se puede calcular como: (½·radio·circunferencia). El área de un círculo está relacionada con el cuadrado de su diámetro casi como: 11/14 (≃π/4). La circunferencia de un círculo es mayor que (3+10/71) y menor que (3+10/70) del diámetro.
Con la primera proposición, el problema de cuadrar el círculo se redujo a la cuestión de la constructibilidad de la circunferencia de un círculo a partir de un radio dado y, por lo tanto, la constructibilidad de . En la tercera proposición, Arquímedes dio una aproximación simple y precisa de este número, a saber, 22/7, un valor (≈ 3,143) que todavía se utiliza hoy en día con fines prácticos. La segunda proposición es un corolario simple de las otras dos: que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro, lo que ya sabía Euclides. Arquímedes dio aquí el valor de la constante de proporcionalidad.