En teoría de conjuntos, la aritmética ordinal describe tres operaciones de la aritmética —suma, multiplicación y exponenciación— aplicadas a los números ordinales. Cada operación puede definirse bien por recursión transfinita, bien definiendo los conjuntos bien ordenados que las representan.
Suma En la suma de dos ordinales y , se considera el conjunto dado por la totalidad de los elementos de ambos, ordenado de forma que todos los elementos de son mayores que todos los elementos de . Este conjunto está bien ordenado, y su ordinal correspondiente es . De manera más técnica:
donde se considera el orden dado por
Esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita:
Esta suma ordinal es asociativa y con elemento neutro (), pero no es conmutativa. Por ejemplo .
Producto thumb|250px|Representación visual de , «omega copias de omega». Cada línea vertical es un ordinal de la forma , es decir, el elemento n-ésimo de la «copia» m-ésima de . De igual modo, para el producto de dos ordinales y , se considera una copia de por cada elemento de , donde dentro de cada copia se respeta el orden de , y elementos de distintas copias se ordenan por su «índice» en . De manera más técnica:
donde en se considera el orden dado por:
De nuevo, esta definición es compatible con la definición por recursión transfinita:
El producto de ordinales es asociativo, con elemento neutro () y elemento absorbente (), pero de nuevo no es conmutativa: .
Exponenciación La exponenciación de números ordinales se define de manera sencilla mediante recursión transfinita:
Esta definición es equivalente a otra en términos de conjuntos bien ordenables:
La exponenciación ordinal verifica varias de las propiedades de la exponeciación ordinaria:
La exponenciación ordinal es muy diferente a la cardinal. Por ejemplo, es numerable (a diferencia de ).
Referencias .
Categoría:Números ordinales