thumb|235px|right|Un triángulo inmerso en un plano en forma de silla de montar (un paraboloide hiperbólico), así como dos líneas ultraparalelas divergentes. En matemáticas, la geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático y del álgebra multilineal. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables, que generalizan la noción de superficie en el espacio euclídeo, así como las aplicaciones diferenciables entre ellas. Las variedades no tienen por qué tener una interpretación geométrica natural, ni tampoco tienen por qué estar inmersas en un espacio circundante: por ejemplo, el grupo lineal general tiene estructura de variedad diferenciable, pero no una interpretación geométrica intuitiva.

Mientras que la topología diferencial se centra únicamente en las propiedades topológicas de las variedades, la geometría diferencial permite aplicar resultados conocidos del cálculo multivariable a las aplicaciones entre variedades. Además, es posible adscribir a cualquier variedad propiedades geométricas tales como distancias y ángulos si se le dota de una métrica de Riemann; y características como geodésicas y curvatura si se añade una conexión.

La geometría diferencial tiene importantes aplicaciones en física, especialmente en el estudio de la teoría de la relatividad general, donde el espacio-tiempo se describe como una variedad diferenciable.

Desde finales del , la geometría diferencial se ha convertido en un campo que se ocupa, de forma más general, de las estructuras geométricas en variedades diferenciables. Una estructura geométrica es aquella que define alguna noción de tamaño, distancia, forma, volumen u otra estructura rigidizante. Por ejemplo, en geometría riemanniana se especifican distancias y ángulos, en geometría simpléctica se pueden calcular volúmenes, en geometría conforme sólo se especifican ángulos, y en teoría gauge se dan ciertos campos sobre el espacio. La geometría diferencial está estrechamente relacionada con la topología diferencial, que se ocupa de las propiedades de las variedades diferenciables que no dependen de ninguna estructura geométrica adicional (véase ese artículo para más información sobre la distinción entre los dos temas). La geometría diferencial también está relacionada con los aspectos geométricos de la teoría de ecuaciones diferenciales, también conocida como análisis geométrico.

La geometría diferencial encuentra aplicaciones en las matemáticas y en las ciencias naturales. El lenguaje de la geometría diferencial fue utilizado principalmente por Albert Einstein en su teoría de la relatividad general, y posteriormente por físicos en el desarrollo de la teoría cuántica de campos y el modelo estándar de la física de partículas. Fuera de la física, la geometría diferencial encuentra aplicaciones en química, economía, ingeniería, teoría de control, gráficos por ordenador y visión por ordenador, y recientemente en aprendizaje automático. Historia y desarrollo La historia y el desarrollo de la geometría diferencial como materia comienzan al menos en la antigüedad clásica. Está íntimamente ligada al desarrollo de la geometría en general, de la noción de espacio y forma, y de la topología, especialmente el estudio de las variedades. En esta sección nos centramos principalmente en la historia de la aplicación de los métodos infinitesimales a la geometría, y más tarde a las ideas de espacio tangente, y finalmente al desarrollo del formalismo moderno del tema en términos de tensor y campo tensorial. Antigüedad clásica hasta el Renacimiento (300 a. C.)

El estudio de la geometría diferencial, o al menos el estudio de la geometría de las formas lisas, se remonta al menos a la antigüedad clásica. En particular, se sabía mucho sobre la geometría de la Tierra, una geometría esférica, en la época de los matemáticos griegos antiguos. Famosamente, Eratóstenes calculó la circunferencia de la Tierra alrededor del año 200 a. C., y alrededor del año 150 d. C. Ptolomeo en su Geografía introdujo la proyección estereográfica con el propósito de trazar la forma de la Tierra.Struik, D. J. "Esbozo de una historia de la geometría diferencial: I." Isis, vol. 19, nº 1, 1933, pp. 92-120. JSTOR, www.jstor.org/stable/225188. Implícitamente a lo largo de este tiempo se utilizaron en geodesia principios que constituyen la base de la geometría diferencial y el cálculo, aunque de forma mucho más simplificada. A saber, ya en la obra de Euclides Elementos se entendía que una línea recta podía definirse por su propiedad de proporcionar la distancia más corta entre dos puntos, y aplicando este mismo principio a la superficie de la Tierra se llega a la conclusión de que los grandes círculos, que sólo son localmente similares a las líneas rectas en un plano llano, proporcionan el camino más corto entre dos puntos de la superficie terrestre. De hecho, las mediciones de la distancia a lo largo de tales trayectorias geodésicas realizadas por Eratóstenes y otros pueden considerarse una medida rudimentaria de la arclongitud de las curvas, concepto que no vio una definición rigurosa en términos de cálculo hasta el .

Alrededor de esta época sólo hubo aplicaciones manifiestas mínimas de la teoría de los infinitesimales al estudio de la geometría, un precursor del estudio moderno de la materia basado en el cálculo. En Elementos de Euclides de Euclides se discute la noción de tangencia de una recta a un círculo, y Arquímedes aplicó el método de agotamiento para calcular las áreas de formas suaves como el círculo, y los volúmenes de sólidos tridimensionales suaves como la esfera, los conos y los cilindros.

Hubo poco desarrollo en la teoría de la geometría diferencial entre la antigüedad y el comienzo del Renacimiento. Antes del desarrollo del cálculo por Newton y Leibniz, el desarrollo más significativo en la comprensión de la geometría diferencial vino del desarrollo de Gerardus Mercator de la proyección de Mercator como forma de cartografiar la Tierra. Mercator conocía las ventajas y los inconvenientes de su diseño cartográfico y, en particular, era consciente de la naturaleza conformal de su proyección, así como de la diferencia entre la praga, las líneas de menor distancia sobre la Tierra, y la directio, las trayectorias rectilíneas de su mapa. Mercator observó que las praga eran curvatur oblicuas en esta proyección. Este hecho refleja la falta de un mapa de preservación métrica de la superficie terrestre sobre un plano, consecuencia del posterior Theorema egregium de Gauss. Después del cálculo (1600–1800) thumb|right|Círculo osculante de curva plana El primer tratamiento sistemático o riguroso de la geometría utilizando la teoría de los infinitesimales y nociones del cálculo comenzó alrededor del 1600, cuando el cálculo fue desarrollado por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. En esta época, los recientes trabajos de René Descartes introduciendo la coordenadas analíticas en la geometría permitieron describir con rigor formas geométricas de complejidad creciente. En particular, alrededor de esta época Pierre de Fermat, Newton y Leibniz iniciaron el estudio de las curvas planas y la investigación de conceptos como los puntos de inflección y los círculos osculantes, que ayudan a medir la curvatura. De hecho ya en su Nova Methodus pro Maximis et Minimis, su primer trabajo sobre los fundamentos del cálculo, Leibniz señala que la condición infinitesimal indica la existencia de un punto de inflexión. Poco después de esta época, la hermanos Bernoulli, Jacob y Johann hicieron importantes contribuciones tempranas al uso de infinitesimales para estudiar geometría.

En las conferencias de Johann Bernoulli de la época, recopiladas posteriormente por L'Hopital en Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, el primer libro de texto sobre cálculo diferencial, se calculan las tangentes a curvas planas de varios tipos utilizando la condición , y de forma similar se calculan los puntos de inflexión. En esta misma época se realiza la ortogonalidad entre los círculos osculantes de una curva plana y las direcciones tangentes, y se escribe la primera fórmula analítica para el radio de un círculo osculante, esencialmente la primera fórmula analítica para la noción de curvatura.

El primer tratamiento sistemático o riguroso de la geometría utilizando la teoría de los infinitesimales y nociones del cálculo comenzó alrededor del 1600, cuando el cálculo fue desarrollado por Gottfried Leibniz e Isaac Newton. En esta época, los recientes trabajos de René Descartes introduciendo la coordenadas analíticas en la geometría permitieron describir con rigor formas geométricas de complejidad creciente. En particular, alrededor de esta época Pierre de Fermat, Newton y Leibniz iniciaron el estudio de las curvas planas y la investigación de conceptos como los puntos de inflexión y los círculos de osculación, que ayudan a medir la curvatura. De hecho ya en su primer trabajo sobre los fundamentos del cálculo, Leibniz señala que la condición infinitesimal indica la existencia de un punto de inflexión. Poco después de esta época, la hermanos Bernoulli, Jacob y Johann hicieron importantes contribuciones tempranas al uso de infinitesimales para estudiar geometría. En las conferencias de Johann Bernoulli de la época, recopiladas posteriormente por L'Hopital en el primer libro de texto sobre cálculo diferencial, se calculan las tangentes a curvas planas de varios tipos utilizando la condición , y de forma similar se calculan los puntos de inflexión. En esta misma época se realiza la ortogonalidad entre los círculos osculantes de una curva plana y las direcciones tangentes, y se escribe la primera fórmula analítica para el radio de un círculo osculante, esencialmente la primera fórmula analítica para la noción de curvatura.

Siguiendo la estela del desarrollo de la geometría analítica y de las curvas planas, Alexis Clairaut inició el estudio de las curvas espaciales con sólo 16 años.Clairaut, A.C., 1731. Recherches sur les courbes à double courbure. Nyon. En su libro Clairaut introdujo la noción de direcciones tangentes y subtangentes a las curvas espaciales en relación con las direcciones que se encuentran a lo largo de una superficie sobre la que se encuentra la curva espacial. Así, Clairaut demostró una comprensión implícita del espacio tangente de una superficie y estudió esta idea utilizando el cálculo por primera vez. Clairaut introdujo la terminología de curvatura y doble curvatura, esencialmente la noción de curvatura principal estudiada más tarde por Gauss y otros.