miniaturadeimagen|Las modalidades y sus relaciones en la lógica modal S4. Una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de algún grupo de operadores modales. Los operadores modales son expresiones que califican la verdad de los juicios. Por ejemplo, en el juicio «es necesario que 2 + 2 = 4», la expresión «es necesario que» es un operador modal que califica de necesaria a la verdad del juicio «2 + 2 = 4». De manera análoga, la expresión «siempre» califica a un juicio verdadero como verdadero en cualquier momento, es decir, siempre. No es lo mismo decir «está lloviendo» que decir «siempre está lloviendo».

En un sentido más restringido, sin embargo, una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento deductivo de las expresiones «es necesario que» y «es posible que». Este artículo trata exclusivamente sobre lógicas modales en este sentido restringido. Las lógicas modales pertenecen al grupo de las llamadas «lógica no clásica», «extensiones de la lógica clásica» o «lógicas extendidas» entre las cuales se incluyen además la lógica deóntica, la lógica temporal, la lógica epistémica y la lógica doxástica.

Sistema formal

Vocabulario

La lógica modal solo agrega dos símbolos al vocabulario de la lógica proposicional: el símbolo , que representa la expresión del lenguaje natural «es necesario que», y el símbolo , que representa la expresión «es posible que». Ambos símbolos se prefijan a proposiciones, de modo que se lee «es necesario que p», y se lee «es posible que p». Además, en la lógica modal clásica, ambos símbolos son interdefinibles por medio del otro y de la negación; así:

Esto implica que en principio, solo es necesario tomar uno de los dos símbolos como primitivo, ya que el otro se puede definir a partir de éste y del vocabulario de la lógica proposicional. En general, el símbolo que se toma como primitivo es el de necesidad. Estas interdefiniciones son paralelas a las de los cuantificadores en la lógica de primer orden:

Las razones de este paralelismo resultarán más claras en la sección de semántica de mundos posibles.

Gramática

La gramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario están bien construidas. A estas secuencias se las llama fórmulas bien formadas. La gramática de la lógica modal es igual a la de la lógica proposicional, excepto que añade una regla para los operadores modales, la cual ya fue indicada informalmente en la sección anterior:

Si es una fórmula bien formada, entonces también lo es.

Algunos ejemplos de fórmulas bien formadas del lenguaje serán, por lo tanto:

Reglas de inferencia

La regla de inferencia más propia de la lógica modal se llama N (o regla de Necesitación), y dice que si una fórmula es un teorema, entonces «es necesario que » también es un teorema. En otros términos:

A esta regla hay que sumarle, por supuesto, el modus ponens heredado de la lógica proposicional.

Axiomas

Cuáles deben ser los axiomas de la lógica modal es algo muy debatido. Diferentes conjuntos de axiomas permiten demostrar diferentes teoremas, y por lo tanto los axiomas que se eligen muchas veces dependen de los teoremas que se quieren demostrar, y de la posición filosófica que se defiende.

La siguiente es una lista de algunos de los axiomas más conocidos:

Nombre Axioma Lectura informal K Si es necesario que implica , entonces si es necesario, también lo es. T (o M) Si es necesario que , entonces es el caso. 4 Si es necesario que , entonces es necesario que sea necesario. 5 Si es posible que , entonces es necesario que sea posible. B Si es el caso, entonces es necesario que sea posible.

Diferentes combinaciones de axiomas dan lugar a diferentes sistemas de lógica modal. El sistema K (llamado así en honor a Saul Kripke) es el que menos axiomas utiliza: aparte de los axiomas de la lógica proposicional, el sistema K se sirve solo del axioma K (no confundir el axioma con el sistema). Por esta misma razón, sin embargo, el sistema K también es el más débil de los sistemas, es decir, el que menos teoremas puede demostrar. Sistemas más fuertes se construyen agregando axiomas a K. A continuación hay una tabla con los nombres de los sistemas más conocidos y sus axiomas:

Sistema Axiomas K K T K, T S4 K, T, 4 S5 K, T, 5 B K, T, B

Semántica

Una interpretación para un lenguaje modal es un conjunto ordenado de tres elementos: <W, R, V>

W es un conjunto cuyos elementos generalmente son llamados mundos posibles. Qué es exactamente un mundo posible es materia de debate. Una de las posturas dice que un mundo posible es un conjunto maximal-consistente de proposiciones. Esto es, un conjunto de proposiciones al que si se agregara una proposición cualquiera más, se volvería inconsistente. Esta definición intenta capturar la idea de una descripción completa del mundo (de un mundo).

R es una relación entre mundos posibles llamada relación de accesibilidad. La función de la relación de accesibilidad es ayudar a expresar una necesidad o posibilidad relativa. En principio, no todo lo que es posible en un mundo es posible en otro mundo. Supongamos tres situaciones o mundos posibles: w0, w1 y w2. Supongamos además que w0 es la situación actual, en la que el señor Fernández se tiró sin paracaídas de un avión volando a miles de metros, con el fin de suicidarse. Convengamos que en esta situación, el señor Fernández va a morir necesariamente (por necesidad física). Por otro lado, w1 es una situación anterior a w0 en la que el señor Fernández está decidiendo si tirarse o no del avión, y w2 es una situación posterior a w1 en donde el señor Fernández decidió no tirarse del avión. Hay un sentido del término «posible» en el que el enunciado «es posible que el señor Fernández no muera» es verdadero en w1 pero no en w0. De modo que w2 es un mundo posible relativo a w1, pero no relativo a w0. Expresamos esta posibilidad relativa diciendo que w1 tiene acceso a w2, pero que w0 no tiene acceso a w2.

V es una función que asigna valores de verdad a proposiciones dentro de cada mundo posible. Es decir, la función V asigna a cada proposición p un valor de verdad, pero este valor de verdad puede variar dependiendo del mundo posible en donde se esté evaluando su verdad. Estrictamente hablando, por lo tanto, la función V es una función que toma pares ordenados como argumentos, y devuelve valores de verdad. Estos pares contienen, por un lado, la proposición a ser evaluada, y por el otro, el mundo posible donde será evaluada.

A los dos primeros elementos de la interpretación se los llama el marco de la interpretación, y cuando se les suma el tercero se tiene un modelo para el sistema. Los mundos posibles no juegan ningún papel sustancial en la definición de los operadores lógicos no-modales, salvo que las condiciones de verdad se definen relativamente a mundos posibles. Por ejemplo:

  si y solo si  

  si y solo si     y  

Pero los mundos posibles juegan un papel clave en la definición de las condiciones de verdad de los operadores modales:

  si y solo si para todo mundo posible w* tal que wRw* (w tiene acceso a w*) se cumple que  

  si y solo si en al menos un mundo posible w* tal que wRw* se cumple que  

Una observación: Si desde un mundo posible w no se puede acceder a ningún otro mundo posible, entonces todas las fórmulas de la forma serán verdaderas en w, mientras que todas las de la forma serán falsas. Las condiciones de verdad de no requieren la existencia de un mundo posible que sea accesible, ya que »todo mundo posible w* tal que wRw* y  » es equivalente a «no hay ningún mundo posible tal que wRw* y  ». Es decir, todo lo que se requiere para que sea verdadero en w es que no haya ningún mundo accesible desde w donde sea falso. Por otro lado las condiciones de verdad de requieren la existencia de un mundo posible. Para que sea verdadero en w, debe haber al menos un mundo accesible desde w en el que sea verdadero. Si desde w no se accede a ningún mundo posible, entonces será falso en w.

Consecuencia lógica y deducción

Dentro de los lenguajes lógicos podemos distinguir dos tipos de relaciones de consecuencia entre premisas y conclusión: la consecuencia lógica y la deducibilidad. La relación de consecuencia lógica es una relación semántica en el sentido de que es una relación entre las premisas bajo una interpretación y la conclusión bajo la misma interpretación. La relación de deducibilidad es una relación sintáctica porque queda caracterizada por un conjunto de reglas (un sistema deductivo) que atienden solamente a la forma de las premisas y conclusión. Se entiende habitualmente que la relación de consecuencia lógica es más básica (aunque esto está sujeto a cierto debate) y que el objetivo de un sistema deductivo es caracterizar en términos puramente sintácticos la relación de consecuencia lógica. Un sistema deductivo caracteriza de un modo satisfactorio la consecuencia lógica cuando nos permite deducir solo consecuencias lógicas (se dice entonces que el sistema es consistente o correcto, en inglés sound) y todas las consecuencias lógicas (se dice que es completo, en inglés complete).

En lógica clásica hay una sola relación de consecuencia lógica y distintos sistemas deductivos para caracterizarla (sistemas axiomáticos, tableaux, deducción natural, sistemas de Gentzen, entre otros). Esto no es así en lógica modal. En lógica modal hay distintos sistemas modales que caracterizan distintas relaciones de consecuencia lógica. En este sentido más que de lógica modal debería hablarse de lógicas modales. En primer lugar introduciremos una definición general de consecuencia lógica. En segundo lugar se tratará el sistema modal básico llamado K. Después indicaremos cómo modificar los sistemas modales y cuáles son sus correspondientes relaciones de consecuencia lógica.

Consecuencia lógica

La consecuencia lógica está ligada a la noción de verdad; que un argumento es válido quiere decir que preserva necesariamente la verdad. En lógica modal la verdad es relativa a mundos posibles (una fórmula es verdadera en una interpretación en un mundo posible) de modo que la consecuencia lógica también será relativa a mundos posibles: un argumento será válido justo cuando, si sus premisas son todas verdaderas en un mundo posible, su conclusión es verdadera en ese mundo posible. Por otro lado, suele entenderse la necesaria preservación de verdad como preservación de verdad en toda interpretación. Por tanto, un argumento es válido en nuestro lenguaje modal cuando preserva la verdad en todos los mundos posibles en toda interpretación:

si y solo si para toda interpretación <W, R, V> y todo mundo posible w en W, si    para todo en , entonces  

Deducción

Un sistema deductivo es un conjunto de reglas que nos permite establecer afirmaciones de consecuencia entre un conjunto de oraciones y una oración atendiendo solamente a su forma. Cuando es una consecuencia deductiva de en un sistema deductivo S se suele escribir «  en S». El tipo de sistemas deductivos tradicionales en lógica modal son los sistemas axiomáticos. Un sistema axiomático es un conjunto de enunciados del lenguaje (o formas de enunciados si contienen metavariables) y un conjunto de reglas de inferencia. Una consecuencia deductiva de un sistema axiomático es, o bien un axioma, o bien un enunciado que puede obtenerse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia. El sistema axiomático básico para la lógica modal es el sistema K, descrito más arriba. La relación de deducibilidad en K (es decir, todo aquello que es deducible en K), queda por lo tanto definida por sus axiomas y sus reglas de inferencia.

Como comentamos al inicio de esta sección, la deducibilidad en los distintos sistemas modales caracteriza diversas relaciones de consecuencia lógica. El sistema modal K es considerado básico porque la deducción en K caracteriza (es consistente y completo respecto a) la consecuencia lógica en todas las interpretaciones (normales). Por tanto: