Dualidad entre poliedrosx200px|centerx200px|centerDualidad entre centros de cara y vértices del dodecaedro y del icosaedrox200px|centerx200px|centerDualidad entre centros de cara y vértices del octaedro y del cubo
En matemáticas, una dualidad, en términos generales, traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras, mediante una correspondencia uno a uno, a menudo (pero no siempre) por medio de una operación de involución: si el dual de A es B, entonces el dual de B es A. Tales involuciones a veces tienen puntos fijos, de modo que el dual de A es A en sí mismo. Por ejemplo, el teorema de Desargues expresa una condición auto dual en este sentido bajo el concepto de dualidad en geometría proyectiva.
En contextos matemáticos, el término dualidad tiene numerosos significados, aunque es «un concepto muy dominante e importante en matemáticas (modernas)» y «un tema general de gran interés que tiene manifestaciones en casi todas las áreas de las matemáticas».
Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a emparejamientos, que mediante operadores bilineales relacionan un objeto de un tipo y otro objeto de un segundo tipo a una familia de escalares. Por ejemplo, la «dualidad en álgebra lineal» se corresponde de esta manera con aplicaciones bilineales de pares de espacios de vectores a escalares, la «dualidad entre distribuciones y las funciones de prueba asociadas» corresponde al emparejamiento en el que se integra una distribución con una función de prueba, y la dualidad de Poincaré corresponde de manera similar al número de intersecciones, visto como un emparejamiento entre subvariedades de una colección de objetos matemáticos determinada.
Desde el punto de vista de la teoría de categorías, la dualidad también se puede ver como un funtor, al menos en el ámbito de los espacios vectoriales. Este funtor asigna a cada espacio su espacio dual, y la construcción de retorno asigna a cada flecha su dual
En teoría de conjuntos y en lógica matemática el concepto de dualidad también desempeña un papel esencial.
Ejemplos introductorios En palabras de Michael Atiyah,
La siguiente lista de ejemplos muestra las características comunes de muchas dualidades, pero también indica que el significado preciso de la dualidad puede variar de un caso a otro.
Complemento de un subconjunto Una dualidad simple, quizás la más simple, surge de considerar subconjuntos de un conjunto fijo . Para cualquier subconjunto , su complemento Para referirse al complemento, a veces se usa la notación . consta de todos los elementos en que no están contenidos en . El resultado es nuevamente un subconjunto de . Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades: Al aplicarlo dos veces, se obtiene el conjunto original, es decir, . Esto se menciona diciendo que la operación de tomar el complemento es una involución. Una inclusión de conjuntos se convierte en una inclusión en la dirección opuesta . Dado dos subconjuntos y de , está contenido en si y solo si está contenido en .
Esta relación aparece en topología como una dualidad entre subconjuntos abiertos y cerrados de un espacio topológico fijo : un subconjunto de es cerrado si y solo si su complemento en es abierto. Debido a esto, muchos teoremas sobre conjuntos cerrados son duales a teoremas sobre conjuntos abiertos. Por ejemplo, cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta, por lo que cualquier intersección de conjuntos cerrados es cerrada. El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande que contiene, y el cierre del conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene. Debido a la dualidad, el complemento del interior de cualquier conjunto es igual al cierre del complemento de .
Cono dual derecha|miniatura|Un conjunto (azul) y su cono dual (rojo)
En geometría existe una construcción denominada cono dual: dado un conjunto de puntos en el plano (o más generalmente, puntos en su cono dual se define como el conjunto que consiste en sus puntos tales que satisfacen la condición
para todos los puntos en , como se ilustra en el diagrama. A diferencia del complemento de conjuntos mencionado anteriormente, en general no es cierto que la aplicación dos veces de la construcción del cono dual, devuelva el conjunto original . En cambio, es el conoMás precisamente, es el cono cerrado convexo más pequeño que contiene . más pequeño que contiene , que puede ser más grande que . Por lo tanto, esta dualidad es más débil que la anterior, verificándose que La aplicación de la operación dos veces devuelve un conjunto posiblemente más grande: para todos los , está contenido en . (Para algunos , es decir, para los propios conos, los dos son en realidad iguales). Las otras dos propiedades se transfieren sin cambios: Todavía es cierto que una inclusión se convierte en una inclusión en la dirección opuesta (). Dados dos subconjuntos y del plano, está contenido en si y solo si está contenido en .
Espacio vectorial dual Un ejemplo muy importante de dualidad surge en el álgebra lineal al asociar a cualquier espacio vectorial su espacio dual . Sus elementos son las -aplicaciones lineales , donde es el campo sobre el cual se define . Las tres propiedades del cono dual se transfieren a este tipo de dualidad al reemplazar los subconjuntos de por el espacio vectorial y las inclusiones de dichos subconjuntos por aplicaciones lineales. Es decir: La aplicación de la operación de tomar dos veces el espacio vectorial dual produce otro espacio vectorial . Siempre existe una aplicación . Para algunos , concretamente los espacios vectoriales de dimensión finita, esta aplicación es un isomorfismo. Una aplicación lineal da lugar a una aplicación en la dirección opuesta (). Dados dos espacios vectoriales y , las aplicaciones de a se corresponden con las aplicaciones de a . Una característica particular de esta dualidad es que y son isomórficos para ciertos objetos, a saber, espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, esto es, en cierto sentido, una coincidencia afortunada, porque dar un isomorfismo de este tipo requiere una cierta elección, por ejemplo, la elección de una base de . Esto también es cierto en el caso de que sea un espacio de Hilbert, a través del teorema de representación de Riesz.
Teoría de Galois
En todas las dualidades discutidas anteriormente, el dual de un objeto es del mismo tipo que el objeto mismo. Por ejemplo, el dual de un espacio vectorial es nuevamente un espacio vectorial. Muchas declaraciones de dualidad no son de este tipo. En cambio, tales dualidades revelan una relación cercana entre objetos de naturaleza aparentemente diferente. Un ejemplo de tal dualidad más general es el de la teoría de Galois. Para una extensión de Galois fija, se puede asociar el grupo de Galois a cualquier campo intermedio (es decir, ). Este grupo es un subgrupo del grupo de Galois . Por el contrario, para cualquier subgrupo existe el campo fijo que consiste en elementos fijados por los elementos en .
Comparado con lo anterior, esta dualidad tiene las siguientes características: Una extensión de campos intermedios da lugar a una inclusión de grupos de Galois en la dirección opuesta: . La asociación de a y a es inversa entre sí. Este es el contenido del teorema fundamental de la teoría de Galois.
Dualidades de inversión de órdenes miniatura|Diagrama de Hasse del conjunto de potencias }, parcialmente ordenado por . El conjunto de parcialmente ordenado dual, es decir, ordenado por , se obtiene volteando el diagrama de arriba abajo. Los nodos verdes forman una conjunto superior y un conjunto inferior en los órdenes original y en el dual, respectivamente.
Dado un conjunto parcialmente ordenado (abreviatura de conjunto parcialmente ordenado, es decir, un conjunto que tiene una noción de orden, pero en el que dos elementos no pueden colocarse necesariamente en orden relativo entre sí), el conjunto parcialmente ordenado dual comprende el mismo conjunto de suelo pero con la relación transpuesta. Ejemplos familiares de órdenes parciales dobles incluyen; Las relaciones subconjunto y superconjunto y en cualquier colección de conjuntos, como los subconjuntos de un conjunto fijo . Esto da lugar al primer ejemplo de una dualidad mencionada arriba. Las relaciones divisor y múltiplo en los números enteros. Las relaciones descendiente de y ancestro de en el conjunto de humanos.
Una "transformación de dualidad" es un antiautomorfismo involutivo de un conjunto parcialmente ordenado , es decir, una involución de orden inverso . En varios casos importantes, estas propiedades simples determinan la transformación de forma única hasta algunas simetrías simples. Por ejemplo, si , son dos transformaciones duales, entonces su composición es un automorfismo de orden de ; por lo tanto, cualesquiera dos transformaciones de dualidad difieren solo por un automorfismo de orden. Por ejemplo, todos los automorfismos de un conjunto potencia son inducidos por permutaciones de .
Un concepto definido para un orden parcial corresponderá a un «concepto dual» en el conjunto parcialmente ordenado dual . Por ejemplo, un elemento minimal de será un elemento maximal de : la minimización y la maximización son conceptos duales en la teoría del orden. Otros pares de conceptos duales son borde superior e inferior; conjunto inferior y superior; e ideales y filtros.
En topología, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados son conceptos duales: el complemento de un conjunto abierto está cerrado, y viceversa. En la teoría matroide, la familia de conjuntos complementarios a los conjuntos independientes de un matroide dado forman ellos mismos otro matroide, llamado matroide dual.
Dualidades de inversión de la dimensión miniatura|200px|Las características de un cubo y de su poliedro dual, el octaedro, se corresponden una a una con sus dimensiones invertidas.
Existen muchas dualidades distintas pero interrelacionadas en las que los objetos geométricos o topológicos se corresponden con otros objetos del mismo tipo, pero con una inversión de las dimensiones de las características de los objetos. Un ejemplo clásico de esto es la dualidad de los sólidos platónicos, en los cuales el cubo y el octaedro forman un par dual, el dodecaedro y el icosaedro forman otro par dual, y el tetraedro es «autodual». El poliedro conjugado de cualquiera de estos poliedros puede formarse como la envolvente convexa de los puntos centrales de cada cara del poliedro primario, por lo que los vértices del dual se corresponden uno a uno con las caras del primero. De manera similar, cada arista del dual se corresponde a una arista del primario, y cada cara del dual se corresponde con un vértice del primario. Estas correspondencias preservan la relación de incidencia: si dos partes del poliedro primario se tocan entre sí, también lo hacen las dos partes correspondientes del poliedro conjugado. Más generalmente, usando el concepto de reciprocidad polar, cualquier poliedro convexo, o más generalmente cualquier politopo convexo, corresponde a un poliedro conjugado o politopo dual, con una característica -dimensional de un politopo de dimensión correspondiente a una característica -dimensional del politopo dual. La naturaleza preservadora de la incidencia de la dualidad se refleja en el hecho de que las retículas de cara de los poliedros o politopos primarios y duales son ellas mismas duales de orden teorético. La dualidad de los politopos y la dualidad de orden-teorético son ambas involuciones: el politopo dual del politopo dual de cualquier politopo es el politopo original, y al invertir todas las relaciones de orden dos veces, vuelven al orden original. Elegir un centro de polaridad diferente conduce a politopos duales geométricamente diferentes, pero todos tienen la misma estructura combinatoria.
derecha|miniatura|240px|Un grafo plano en azul, y su grafo dual en rojo