La teoría de juegos es la rama de las matemáticas que estudia modelos matemáticos de interacciones estratégicas. Utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos»). Constituye teóricamente a la ciencia económica, informática y biología; con importantes aplicaciones en la sociología, la politología, la psicología, la filosofía, la administración, la ingeniería y otras ciencias de la vida. Fue desarrollada inicialmente por Ernst Zermelo, Émile Borel, John von Neumann y Oskar Morgenstern; mientras su primera formulación implícita fue presentada por Antoine Augustin Cournot. La Teoría de juegos se divide en dos grandes ramas, Teoría de Juegos No Cooperativos y la Teoría de Juegos Cooperativos, otras divisiones del campo se caracterizan por la estructura del juego (Juegos de Suma Cero y Suma No Cero; Simétricos y Asimétricos; Estáticos y Dinámicos; Información Perfecta e Imperfecta; Información Completa e Incompleta; De un periodo, Finito o Infinitos; etc.).
Su profundidad se manifiesta no solo en su rica base teórica, sino también en su vigoroso desarrollo empírico y experimental. Así, mientras que la modelización matemática sienta las bases, el análisis de datos reales (como se evidencia en trabajos como "Game Theory for Applied Econometricians: Data analytics with R" de Christopher P. Adams) y la investigación experimental (pionera en obras como "Behavioral Game Theory: Experiments in Strategic Interaction" de Colin F. Camerer) validan y refinan su capacidad explicativa sobre el comportamiento humano y las dinámicas estratégicas en diversos contextos.
Tipos de interacción aparentemente distintos pueden presentar en realidad una estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.De cómo la teoría matemática de los juegos de estrategia resolverá los problemas de la Eurozona y frenará las armas nucleares iraníes, Ariel Rubinstein, 5 de mayo de 2013, sin permiso.
Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de la economía, la teoría de juegos se ha ido extendiendo a muchos otros campos, como la biología, las ciencias de la computación, la sociología, la politología, la psicología y la filosofía. Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos ha atraído también la atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética.
Los conflictos entre seres racionales que recelan uno del otro, o la pugna entre competidores que interactúan y se influyen mutuamente, que piensan y que, incluso, pueden ser capaces de traicionarse uno al otro, constituyen el campo de estudio de la teoría de juegos, la cual se basa en un análisis matemático riguroso pero que, sin embargo, surge de manera natural al observar y analizar un conflicto desde un punto de vista racional. Desde el enfoque de esta teoría, un «juego» es una situación conflictiva en la que priman intereses contrapuestos de individuos o instituciones, y en ese contexto una parte, al tomar una decisión, influye sobre la decisión que tomará la otra; así, el resultado del conflicto se determina a partir de todas las decisiones tomadas por todos los actuantes.
La teoría de juegos plantea que debe haber una forma racional de jugar a cualquier «juego» (o de negociar en un conflicto), especialmente en el caso de haber muchas situaciones engañosas y segundas intenciones; así, por ejemplo, la anticipación mutua de las intenciones del contrario, que sucede en juegos como el ajedrez o el póquer, da lugar a cadenas de razonamiento teóricamente infinitas, las cuales pueden también trasladarse al ámbito de resolución de conflictos reales y complejos. En síntesis, y tal como se comentó, los individuos, al interactuar en un conflicto, obtendrán resultados que de algún modo son totalmente dependientes de tal interacción.Gametheory.net tiene una extensa lista de referencias a la teoría de juegos en la cultura popular.
Así, desde que Von Neumann, Morgenstern y John Nash delinearon los postulados básicos de esta teoría durante las décadas del 40 y 50, varias han sido las aplicaciones que se le han otorgado a esta herramienta en el campo de las decisiones económicas, llegando incluso a modificar el modo en que los economistas interpretaban la toma de decisiones y la consecución del bienestar común.
Representación de juegos El dilema del prisionero
Uno de los problemas que plantea el equilibrio de Nash se halla en que no conduce necesariamente a situaciones eficientes en el sentido de Pareto1. El análisis original de este juego se basa en una situación en la que se interroga en habitaciones distintas a dos personas que han cometido conjuntamente un robo armado a un banco; sin embargo, el dinero sustraído no se encuentra en sus manos y, por ello, la policía solo puede inculparlos por tenencia ilícita de armas, al carecer de otras pruebas. Así, al ser interrogados por separado, cada uno de ellos tendría la posibilidad de confesarse culpable, implicar al otro prisionero o negar haber participado en el atraco. Sin embargo, la policía puede proponerles un trato y, a través del uso de un adecuado esquema de incentivos, hacer que ambos confiesen la participación en el hecho, lograr que la verdad salga a la luz y condenarlos. A continuación se verá que una adecuada propuesta efectuada por el cuerpo de policías, puede conducir a que la racionalidad y el egoísmo individual con el que suelen ser tomadas las decisiones puede volverse en contra del interés conjunto de estos sujetos. Para demostrar esto, considérese por ejemplo, el juego denominado El dilema del prisionero. Este juego permite comprender que mantener la cooperación es algo sumamente difícil. Muchas veces los individuos no cooperan (este caso es un ejemplo paradójico, ya que demuestra los beneficios que se obtendrían al mantener la cooperación entre cualquier grupo de individuos, pero a la vez demuestra que ello, bajo ciertos postulados, es imposible de conseguir), y sus decisiones individuales no necesariamente conducen al mutuo bienestar.
Forma normal de un juego Un juego en forma normalEl jugador 2 elige izquierdaEl jugador 2 elige derechaEl jugador 1 elige arriba 4, 3 -1, -1El jugador 1 elige abajo 0, 0 3, 4
La forma normal (o forma estratégica) de un juego es una matriz de pagos, que muestra los jugadores, las estrategias y las recompensas (ver el ejemplo a la derecha). Hay dos tipos de jugadores; uno elige la fila y otro la columna. Cada jugador tiene dos estrategias, que están especificadas por el número de filas y el número de columnas. Las recompensas se especifican en el interior. El primer número es la recompensa recibida por el jugador de las filas (el Jugador 1 en nuestro ejemplo); el segundo es la recompensa del jugador de las columnas (el Jugador 2 en nuestro ejemplo). Si el jugador 1 elige arriba y el jugador 2 elige izquierda entonces sus recompensas son 4 y 3, respectivamente.
Cuando un juego se presenta en forma normal, se presupone que todos los jugadores actúan simultáneamente o, al menos, sin saber la elección que toma el otro. Si los jugadores tienen alguna información acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta habitualmente en la forma extensiva.
También existe una forma normal reducida. Ésta combina estrategias asociadas con el mismo pago.
Forma extensiva de un juego
thumb|251px|right|Un juego en forma extensiva. La representación de juegos en forma extensiva modela juegos con algún orden que se debe considerar. Los juegos se presentan como árboles (como se muestra a la derecha). Cada vértice o nodo representa un punto donde el jugador toma decisiones. El jugador se especifica por un número situado junto al vértice. Las líneas que parten del vértice representan acciones posibles para el jugador. Las recompensas se especifican en las hojas del árbol.
En el juego que se muestra en el ejemplo hay dos jugadores. El jugador 1 mueve primero y elige F o U. El jugador 2 ve el movimiento del jugador 1 y elige A o R. Si el jugador 1 elige U y entonces el jugador 2 elige A, entonces el jugador 1 obtiene 8 y el jugador 2 obtiene 2.
Los juegos en forma extensiva pueden modelar también juegos de movimientos simultáneos. En esos casos se dibuja una línea punteada o un círculo alrededor de dos vértices diferentes para representarlos como parte del mismo conjunto de información (por ejemplo, cuando los jugadores no saben en qué punto se encuentran).
La forma normal da al matemático una notación sencilla para el estudio de los problemas de equilibrio, porque desestima la cuestión de cómo las estrategias son calculadas o, en otras palabras, de cómo el juego es jugado en realidad. La notación conveniente para tratar estas cuestiones, más relevantes para la teoría combinatoria de juegos, es la forma extensiva del juego.
Tipos de juegos y ejemplos La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen:
Juegos simétricos y asimétricos
Un juego asimétrico E F E 1, 2 0, 0 F 0, 0 1, 2
Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen solo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quien las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.Algunos estudiosos consideran ciertos juegos asimétricos como ejemplos de este tipo de juegos. Sin embargo, las recompensas más habituales para todos estos juegos son simétricas.
Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores.
Juegos de suma cero y de suma distinta de cero
Un juego de suma cero A B C 1 30, -30 -10, 10 20, -20 2 10, -10 20, -20 -30, 30
En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.