En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio instantánea de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas direccionales tomadas en la dirección de los respectivos ejes coordenados estándar.
Definición thumb|275px|Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación , mostrando el vector gradiente en negro, y el vector unitario escalado por la derivada direccional en la dirección de en anaranjado. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de una función. Definición general
La derivada direccional de una función real de n variables
en la dirección del vector
es la función definida por el límite:
(A cada punto la función le asocia el valor de la derivada de en la dirección de ).
Si la función es diferenciable, la derivada direccional puede ser escrita en términos de su gradiente
donde «» denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto , la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por en dicho punto.
La derivada direccional dice cómo cambia una función en la dirección de un vector .
Definición solo en la dirección de un vector Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de por unidad de distancia.
Restricción al vector unitario Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma. Demostración de la relación con el gradiente El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable . La derivada direccional según la dirección de un vector unitario es:
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cual lleva, por ser diferenciable la funciónSi la función no es diferenciable entonces las derivadas parciales no son continuas y esta demostración no es válida, Bombal, R. Marín, Vera, p. 4 f, a:
Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector :
Notaciones alternas La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
donde es la parametrización de una curva para la cual es tangente y la cual determina su magnitud.
Propiedades Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones y definidas en la vecindad de un punto , donde son diferenciables: Regla de la suma:
Regla del factor constante:
donde es cualquier constante. Regla del producto (o regla de Leibniz):
Regla de la cadena: Si es diferenciable en el punto y es diferenciable en , entonces:
Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional se puede generalizar a funciones de en de la forma
En este caso la derivada direccional se define de manera idéntica a como se ha hecho con funciones con llegada en :
Una diferencia respecto al caso de funciones de reales de una variable real es que la existencia de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación
es lineal y se cumple además que las derivadas direccionales son expresables en términos del jacobiano: donde representa el jacobiano de en el punto . Es decir, la igualdad dice que la derivada de en dirección en un punto se puede obtener evaluando la aplicación lineal que mejor aproxima en (su jacobiano) en la dirección .
Funcionales
La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de funciones.
Referencias
Bombal, R. Marín & Vera: Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6.
Véase también Gradiente Derivada Derivada parcial
Categoría:Cálculo multivariable Categoría:Geometría diferencial