250px|thumb|Soluciones generales de la ecuación de Clairaut en que 250px|thumb| Soluciones generales de la ecuación de Clairaut en que
La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemático "ecuaciones diferenciales aplicaciones" (sic) (Spiegel, Murray R. ISBN 0-13-234997-053-8, p. 60 . francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:
donde es función de , para resolver la ecuación, se diferencia respecto a , Se considera que f(y') define una función diferenciable de y'; Ibídem quedando:
lo que se reduce a
y así tenemos que
o
En el primer caso, C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:
llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
El otro caso,
define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx. Ejemplo
Resolver:
Se hace el cambio de variable
por lo que
obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es:
de la cual se puede obtener y integrando dos veces, así:
siendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:
Notas y referencias
Enlaces externos . At Gallica: the paper of Clairaut introducing the equation named after him.
Representación de la envolvente de la familia de curvas de una ecuación diferencial de Clairaut
Ecuacion diferencial de Clairaut Categoría:Ecuaciones epónimas de matemáticas Categoría:Ciencia y tecnología de Francia del siglo XVIII Categoría:Ciencia de 1734