Matematiikassa Riemannin zeeta-funktio on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta.
Määritelmä
Riemannin zeeta-funktio on määritelty kompleksiluvuille , joiden reaaliosa , summaksi . Alueessa tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen. Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä . Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.
Integraaleja
Jos pätevät kaavat
ja
Jos on .
Integraali zeetafunktion derivaatalle on
joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun s=1.
Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion
missä ψ0 on digammafunktio.
Sarjoja Eulerin vakiolle:
Sarja Catalanin vakiolle:
Zeetafunktion arvoja Zeetafunktio saa seuraavia arvoja eri kokonaisluvuilla:
Katso myös Zeeta-funktio
Lähteet
Kirjallisuutta
Luokka:Kompleksianalyysi Luokka:Analyyttinen lukuteoria Luokka:Erikoisfunktiot