Kannanvaihto tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.
Kannanvaihtomatriisi Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.
Kannanvaihtomatriisin määritelmä Olkoot ja vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille pätee =M(T←S), missä on vektorin koordinaattivektorin kannan T suhteen ja vektorin koordinaattivektorin kannan S suhteen.
Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksi Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [In|A], missä on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).
Esimerkkejä
Esimerkki 1 Olkoon vektoriavaruuden R3 luonnollinen kanta ja olkoon vektoriavaruuden R3 toinen kanta, jossa , ja . Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis M(E←S)=.
Esimerkki 2 Olkoot ja vektoriavaruuden R2 kantoja, joille , , ja . Olkoon lisäksi . Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi redusoituun porrasmuotoon . Tällöin M(T←S)=. Vektorin koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla . Lasketaan vektorin koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan =M(T←S)==.
Lähteet
Kirjallisuutta Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008. David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.
Luokka:Lineaarialgebra