thumb|Mukin pinnan genus on yksi, kuin myös toruksen. Genus on topologiassa pinnan niin sanottujen kahvojen lukumäärä. Genus on siis kokonaisluku, joka kertoo montako erillistä silmukkaa myöten pinnan voi leikata auki niin että se pysyy yhtenäisenä.
Määritelmä Seuraavat määritelmät aritmeettiselle ja geometriselle genukselle löytyvät Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves":
Olkoon projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan . Tällöin :n aritmeettinen genus on määritellään Eulerin karakteristikan avulla
joka riippuu :sta. Jos on sileä projektiivinen varisto yli :n, niin :n geometrinen genus on
missä on dualisoituva (tai kanoninen) lyhde ja tarkoittaa :n nollatta Čechin kohomologiaryhmää.
Yleisesti ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa määritellään korkeampiulotteisten ja ei-jaottoman variston aritmeettinen genus asettamalla
missä on rakennelyhteen Eulerin–Poincarén karakteristika.
Kun X on algebrallinen käyrä, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:llä ei ole singulaarisia pisteitä, molemmat määritelmät kuvaavat pinnan kahvojen lukumäärää. Sen sijaan yleisessä tapauksessa aritmeettinen genus voi olla myös negatiivinen luku.
Lähteet
Luokka:Geometrinen topologia