Wallisin kaavat ovat menetelmiä, joilla voidaan laskea piin likiarvoja. Kaavat on johtanut englantilainen matemaatikko John WallisLehtinen, Matti: Osittaisintegroinnin ihmeitä: Wallisin ja Stirlingin kaavat . Wallisin kaavojen mukaan:
(1)
(2) . Kaavassa (2) merkintä ”” tarkoittaa kertomaa.
Wallisin kaavojen avulla voidaan arvioida piitä seuraavasti: Jos , (), niin
tai
Wallisin kaavojen johtaminen
Wallisin kaava (1) johdetaan osittaisintegroinnin avulla:
Merkitään kaikille
, jossa käytetään merkintää ,
ja
Tällöin
ja
Jos , niin osittaisintegroimalla nähdään, että
Näin saadaan rekursiivinen kaava :lle:
Tämän avulla nähdään, että
ja
Näin ollen
, eli
Koska kaikilla , niin . Siten
, kun . Siis
, eli väite (1) on todistettu.
Koska
ja
, niin induktiotodistuksella voidaan osoittaa, että
kaikilla . Siten väite (2) seuraa väitteestä (1).
Wallisin kaavojen tarkkuus piin likiarvon laskennassa Oheisessa taulukossa on laskettuna joitain likiarvoja piille käyttäen Wallisin kaavoja (1) ja (2). Tulos on pyöristetty kuuden desimaalin tarkkuudelle. Kaavan tuottaman arvon virhe on laskettu suhteellisesti:
,
missä on kaavan (1) tai (2) antama tulos, vastaavasti. Vertailun vuoksi piin likiarvo kuuden desimaalin tarkkuudella on 3,141593. +Wallisin kaava (#)TulosVirhe TulosVirheTulosVirheTulosVirhe (%)TulosVirhe (%)Kaava (1):2,666667−15 %3,067704−2,4 %3,133787−0,2 %3,140808−0,02 %3,141514−0,002 %Kaava (2):4,000000 +27 %3,221089 +2,5 %3,149456 +0,3 %3,142378 +0,03 %3,141671 +0,003 %
Katso myös Luettelo piin laskukaavoista
Lähteet
Luokka:Pii