Diskreetti tasainen jakauma () eli symmetrinen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä symmetrisen diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Tasainen jakauma viittaa arvojen esiintymistodennäköisyyksiin, jotka ovat kaikille samat. Suomalaisen lukiokoulutuksen matematiikan opetuksessa diskreetti tasainen jakauma muodostaa yleisimmän ryhmän esimerkkejä satunnaismuuttujien opetuksessa.
Hieman samantapainen, mutta jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma on tasajakauma.
Merkinnät Satunnaisilmiö tuottaa n erilaista alkeistapausta, joiden todennäköisyydet ovat symmetrisesti samat. Muodostetaan niistä satunnaismuuttuja numeroimalla tapaukset juoksevasti. Silloin satunnaismuuttujan jakauma voidaan merkitä esimerkiksi
missä parametri n määrittää perusjoukon lukumäärään. Saman satunnaisilmiön modifioitu satunnaismuuttuja saa lukuarvot ja se voidaan merkitä
Kun halutaan huomioida poikkeavat numeeriset rajat, voidaan ne kirjoittaa kahdella parametrilla a ja b siten, että
jolloin perusjoukossa on alkeistapausta.
Muita käytettyjä merkintöjä ovat
Tasaisia diskreettejä jakaumia Yleiset jakaumat Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti . Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.
Esimerkki: Kolikonheitto Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, kruunan ja klaavan, todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin ja jakaumaa merkitään .
Esimerkki: Nopanheitto Nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä . Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasainen, sillä summat kuten summa 7 esiintyy todennäköisyydellä ja summa 2 todennäköisyydellä . Jakaumaa merkitään esimerkiksi .
Ominaisuuksia Alla olevat ominaisuudet esitetään satunnaismuuttujan jakaumalle , jonka perusjoukon suuruus on n. Todennäköisyysfunktio Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään
Kertymäfunktio Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta
Merkintä tarkoittaa lattiafunktiota. Kun , on , ja kun , on . Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.
Odotusarvo Yleisessä tapauksessa odotusarvo on
joka vastaa lukujen keskiarvoa.
Kun jakauma on , on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna ,
ja peräkkäisten lukujen tapauksessa saadaan
Varianssi ja keskihajonta Yleisessä tapauksessa varianssi on
missä on odotusarvo.
Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla
tai peräkkäisten lukujen tapauksessa .
Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta
Lähteet
Aiheesta muualla
Luokka:Todennäköisyysjakaumat