pienoiskuva|350x350px|Esimerkki porrasfunktion kuvaajasta Porrasfunktio on matematiikassa funktio, joka voidaan koostaa peräkkäisillä suljetuilla, puoliavoimilla tai avoimilla väleillä määritellyistä vakiofunktioista. Toisin sanoen porrasfunktio voidaan esittää äärellisen monen indikaattorifunktion lineaarikombinaationa määrittelyvälinsä jaon avulla. Funktion arvoille jakopisteissä ei ole erillisiä ehtoja. Yhden reaalimuuttujan reaaliarvoisen porrasfunktion kuvaaja muodostaa nimensä mukaisesti ''portaikon''.
Määritelmä
Yhden reaalimuuttujan porrasfunktio Olkoon väli (välin ei tarvitse olla rajoitettu). Funktio on porrasfunktio, jos on olemassa välin jako
ja luvut , , joille
kaikilla .
Porrasfunktio määritellään yhtäpitävästi indikaattorifunktion avulla: on porrasfunktio, jos
missä ja on joukon indikaattorifunktio.
Useamman reaalimuuttujan porrasfunktio Olkoon väli. Funktio on porrasfunktio, jos on olemassa välin jako siten, että vastaavassa osavälijaossa funktio on vakio jokaisen osavälin sisuksessa. Ts.
jollekin kaikilla .
Esimerkkejä porrasfunktioista pienoiskuva|300x300px|Heavisiden porrasfunktio Vakiofunktio on yksinkertaisin porrasfunktio. Vakiofunktiossa on vain yksi ''porras'' ja väli jaetaan yhteen osaväliin. Signum-funktio ; välin jako on . Heavisiden funktio ; välin jako on . Lattia- ja kattofunktiot ja ovat porrasfunktioita, jos niiden määrittelyjoukko on rajoitettu. Jos määrittelyjoukko on rajoittamaton, niin määritelmän mukaan lattia- ja kattofunktiot eivät ole porrasfunktioita, sillä välin jakopisteitä pitäisi olla äärettömän monta.
Porrasfunktioiden ominaisuuksia Kahden porrasfunktion summafunktio on aina porrasfunktio. Kahden porrasfunktion tulofunktio on aina porrasfunktio. Kahden porrasfunktion lineaarikombinaatio on aina porrasfunktio. Porrasfunktio on paloittain jatkuva (epäjatkuvuuskohtien lukumäärä on äärellinen) määrittelyjoukossaan. Porrasfunktio on Riemann-integroituva. Jos , niin määritelmässä käytetyin merkinnöin ,
missä on välin pituus. Porrasfunktio on derivoituva kaikkialla muualla paitsi epäjatkuvuuskohdissaan. Porrasfunktion derivaatta epäjatkuvuuskohtien ulkopuolella on nollafunktio.
Katso myös Erikoisfunktio
Lähteet
Aiheesta muualla
Luokka:Erikoisfunktiot