Käänteishila

thumb|upright=1.2|Kaksiulotteinen kidehila ja sen käänteishila.

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikassa ja kristallografiassa käytetty matemaattinen konstruktio, joka saadaan toisen hilan, useimmiten Bravais'n hilan Fourier’n-muunnoksena. Tavallisimmin alkuperäisen hilan eli suoran hilan hilapisteet tarkoittavat atomien sijaintia jonkin kiinteän aineen kidehilassa.

Sen sijaan että suora hila on todellisessa avaruudessa ja vastaa sitä, mikä yleensä ymmärretään fysikaaliseksi hilaksi, käänteishila on abstraktimpi konstruktio, jonka voidaan ajatella sijaitsevan käänteis­avaruudessa, toisin sanoen avaruudessa, jossa pituus­yksiköt ovat tavan­omaisten pituus­yksiköiden käänteis­arvoja kuten m-1 tai cm-1. Käänteis­avaruutta sanotaan myös k-avaruudeksi, koska tavallisimmissa sovelluksissa sen pisteet tarkoittavat kidehilassa esiintyvien aalto­liikkeiden aaltovektorin arvoja, ja aaltovektorille käytetään fysiikan yhtälöissä tunnusta k. Paikan ja liikemäärän välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin vuoksi käänteis­hilaa sanotaan myös liike­määrä­avaruudeksi. Jos jonkin hilan käänteis­hilalle muodostetaan vastaavalla tavalla edelleen käänteis­hila, saadaan jälleen alku­peräinen suora hila, sillä suora ja käänteis­hila ovat toistensa Fourier’n muunnoksia.

Käänteis­hilalla on perustava merkitys jaksollisten rakenteiden analyyttisessä tutkimuksessa, varsinkin diffraktioteoriassa. Lauen ehtojen vuoksi neutroni- ja röntgendiffaktiossa kiteeseen saapuvan ja diffraktioituneen neutronin tai röntgen­säteen aalto­vektorien erotus vastaa jotakin käänteis­hilan hilapistettä.Hall, 1979, "Diffraction by a Crystal Lattice", s. 172–176 Kiteen diffraktio­kuvan avulla voidaan myös määrittää käänteishilan vektorit. Tästä voidaan edelleen päätellä, miten kiteen atomit sijaitsevat toisiinsa nähden.

Käänteishilan Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.Hall, 1979, "The Reciprocal Lattice and Brillouin Zones", s. 177–179

Matemaattinen kuvaus Tarkastellaan kaksiulotteista Bravais'n hilaa

, missä .

Mikä tahansa suure, esimerkiksi elektronien tiheys atomihilassa voidaan esittää jaksollisena funktiona, jolle pätee

Jaksollisuutensa vuoksi voidaan esittää Fourier’n sarjana

Koska millä tahansa kokonaisluvuilla , jälkimmäinen yhtälö pätee erikoistapauksessa

on oltava , mikä merkitsee, että

, missä .

Matemaattisesti käänteishila voidaan esittää niiden vektorien joukkona, jotka toteuttavat tämän yhtälön kaikilla hilapisteitä vastaavilla paikkavektorin R arvoilla.

Tämä käänteishila itsekin on Bravais'n hila, ja käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila, mikä osoittaa vastaavien vektori­avaruuksien välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin.

Äärettömälle kaksi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeis­kopin särmiä vastaavat vektorit , voidaan käänteishila määritellä muodostamalla sen kaksi kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:

missä

Tässä tarkoittaa 90 asteen rotaatiomatriisia.

Vastaavasti äärettömälle kolmi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeiskopin särmiä vastaavat alkeis­vektorit , voidaan käänteis­hila määritellä muodostamalla sen kolme kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:

missä

Huomataan, että tässä nimittäjänä on näiden vektorien skalaarikolmitulo. Käyttämällä käänteisavaruuden alkeisvektoreille sarakevektoriesitystä voidaan nämä yhtälöt kirjoittaa myös muodostamalla käänteismatriisi, jolloin saadaan:

Tämä menetelmä perustuu käänteishilan määritelmään ja voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa. Tätä kaavaa, jossa esiintyy vektorien ristitulo, käytetään yleisesti kristallografiassa.

Edellä olevaa käänteisavaruuden määritelmää sanotaan "fyysikon määritelmäksi" ja siinä esiintyvä kerroin seuraa luonnollisesti jaksollisten funktioiden ominaisuuksista. Vaihto­ehtoinen "kristallo­grafin määritelmä", saadaan määrittelemällä käänteis­hilaksi

jolloin käänteishilavektoreiksi saadaan

ja samoin vastaavasti molemmille muille vektoreille. Kristallo­grafin määritelmällä on se etu, että on suoraan :n käänteis­arvo :n suunnassa, eikä tekijää ole mukana. Tämä yksin­kertaistaa eräitä lasku­toimituksia, ja sen avulla käänteis­hila saadaan avaruudellisen taajuuden yksiköissä. Voidaan pitää makuasiana, kumpaa käänteis­hilan määritelmää käytetään, kunhan vain niitä ei sekoiteta keskenään.

Jokainen käänteis­hilan piste vastaa jotakin suoran hilan hilatasojen joukkoa. Käänteis­hilan vektorin suunta on sama kuin tämän hilatason normaalin suunta. Käänteis­hilan vektorin suuruus taas on yhtä suuri kuin näiden suoran hilan hilatasojen välisen etäisyyden käänteis­arvo.

Jos suora hila määritellään avaruuden pistejoukoksi, jonka muodostavat hilapisteet, voidaan todeta, että kristallografin määritelmää käytettäessä käänteishilan muodostavat ne käänteisavaruuden pisteet, joiden paikkavektorin pistetulo minkä tahansa suoran hilan pisteen paikkavektorin kanssa on kokonaisluku.

Eräiden kidehilojen käänteiskilat

Yksinkertainen kuutiollinen hila

Yksinkertaisen kuutiollisen Bravais'n hilan, jonka kuutiollisen alkeis­kopin särmän pituus on , käänteishila on yksin­kertainen kuutiollinen hila, jonka kuutiollisen alkeiskopin särmän pituus on (tai kristallo­grafin määritelmän mukaan ). Kuutiollista hilaa sanotaan itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.

Pintakeskeinen kuutiollinen hila

Pintakeskeisen kuutiollisen hilan eli FCC-hilan käänteis­hila on tilakeskeinen kuutiollinen eli BCC-hila.Hall, 1979, "Zones for structures where the atoms form a Bravais Lattice", s. 181–184

Tarkastellaan FCC-hilan yksikkö­koppia. Valitaan hilasta alkeiskoppi, toisin sanoen yksikkökoppi, jossa on yksi hilapiste. Valitaan edelleen yksi tämän alkeiskopin kärjistä origoksi. Suoran hilan kantavektorit ovat edellä sanotun mukaiset. Esitetyn kaavan avulla voidaan laskea käänteis­hilan kanta­vektorit. Nämä FCC-hilan käänteis­hilan vektorit vastaavat BCC-hilan kanta­vektoreita. Huomattava on, että suoran BCC-hilan ja FCC-hilan käänteis­hilan kanta­vektorit ovat saman­suuntaisia mutta eivät saman­pituisia.

Tilakeskeinen kuutiollinen hila

Tilakeskeisen kuutiollisen hilan eli BCC-hilan käänteishila on pintakeskeinen kuutiollinen eli FCC-hila.

Voidaan helposti todistaa, että vain niitä Bravais'n hiloja, joilla :n, :n ja :n väliset kulmat ovat 90 astetta, toisin sanoen kuutiollista, tetragonista ja ortorombista hilaa vastaavien käänteishilojen kantavektorit ovat yhdensuuntaisia suoran hilan vektorien kanssa.

Yksinkertainen heksagonaalinen hila

Yksinkertaiselle heksagonaaliselle Bravais'n hilalle, jonka hilavakiot ovat c ja a, saadaan käänteishilaksi heksagonaalinen hila, jonka hilavakiot ovat ja . Niiden suunnat poikkeavat suoran hilan hilavektorien suunnista 30 astetta. Yksinkertaista heksagonaalista hilaa sanotaan sen vuoksi itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.

Käänteishilan käänteishila

Että käänteishilan käänteishila on sama kuin alkuperäinen suora hila, voidaan todistaa seuraavasti.

Bravais'n hilan määritelmästä seuraa, että siihen kuuluvien vektorien summa ja erotus kuuluvat myös hilaan. Niinpä riittää todeta, että jos

ja

summa ja erotus toteuttavat saman yhtälön.

Tämä osoittaa, että käänteishilakin on sulkettu vektorien yhteen- ja vähennyslaskun suhteen, toisin sanoen kahden käänteishilaan kuuluvan vektorin summa ja erotus kuuluvat siihen myös. Lisäksi tiedetään, että käänteishilan vektori G voidaan esittää kantavektorien lineaarikombinaationa.

Edellä esitetystä :n määritelmästä seuraa, että

missä on Kroneckerin delta. Olkoon R suoran hilan vektori, joka voidaan esittää suoran hilan kantavektorien lineaarikombinaationa.

Tästä voidaan todeta, että:

Käänteishilan määritelmästä todetaan, että :n on toteutettava identtisesti seuraava yhtälö:

Jotta tämä pätee, on tulon oltava kertaa jokin kokonaisluku. Tämä toteutuu, koska and . Näin ollen käänteishilakin on Bravais'n hila.

Jos edelleen vektorit muodostavat käänteishilan, on selvää, että jokainen vektori , joka toteuttaa yhtälön

,

on känteishilan hilavektori. :n määritelmästä, kun on suoran hilan vektori , seuraa vastaava yhteys

.

Tästä voidaan päätellä, että käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila.

Fysikaalinen merkitys thumb|upright=1.0|Kiteen diffaktiokuvio käänteisavaruudessa.

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikan keskeisimpiä käsitteitä. Sen ja siihen liittyvien Brillouinin vyöhykkeiden merkitys kiinteiden aineiden teoriassa on niin keskeinen, että niitä on verrattu Maxwellin yhtälöihin, sillä niistä voidaan johtaa suuri osa koko teoriasta, samoin kuin koko sähkömagnetismin teoria voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä.Hall, 1979, "Author's Preface", s. ix–x

Röntgensäteilyn diffraktio Kiderakennetta tutkitaan tavallisimmin sellaisen röntgensäteilyn avulla, jonka aallonpituuson samaa suuruusluokkaa kuin kiteen atomien välinen etäisyys. Saadusta diffraktiokuviosta voidaan päätellä hilan muoto ja siten kiteen rakenne.

Käytetään kiteeseen saapuvan säteilyn aaltovektorille merkintää , annettuun suuntaan diffusioituneen säteilyn aaltovektorille merkintää ja niiden erotuksena saatavalle diffuusiovektorille merkintää . Tällöin Blochin teoreemasta seuraa, että diffraktio esiintyy, kun on jokin käänteishilan pisteistä.

Hilavärähtelyt ja Brillouinin vyöhyke

Käänteishilan yksikkökoppia eli Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.

Tutkittaessa kidehilassa esiintyviä kimmoaaltoja voidaan yleensä rajoittua käsittelemään aaltoja, joiden aaltovektori sisältyy ensimmäiseen Brillouinin vyöhykkeeseen, sillä aallot, joiden aaltovektori on tämän ulkopuolella, voidaan käsittää ekvivalenteiksi jonkin Brillouinin vyöhykkeessä olevan aallon kanssa. Tämä on ehkä helpoimmin ymmärrettävissä tarkasteltaessa yksiulotteista atomiketjua.

Olkoon ketjussa atomien välimatka vakio r. Sen suoran hilan pisteitä ovat tällöin suoran pisteet nr, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Ketjun käänteishilan muodostavat k-avaruuden pisteet Näin ollen sen ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen muodostaa väli Hall, 1979, "Classification into Metals, Semiconductors and Insulators", s. 135

Tarkastellaan kahta tällaisessa ketjussa etenevää aaltoa, joiden aaltovektorit ovat ja ja joilla on sama amplitudi A. Tällöin näistä ensimmäinen on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä, jälkimmäinen sen ulkopuolella. Näiden aaltojen aallonpituudet ovat ja Olkoon m mielivaltainen kokonaisluku, jolloin mr on jokin ketjuun kuuluva hilapiste, toisin sanoen jonkin atomin sijaintipaikka.

Jos kiteessä etenee aalto, jonka aaltovektori on ja jos sen vaihekulma origossa jollakin hetkellä on , pisteessä mr olevan atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä on . Jos aallon aaltovektori onkin , saman atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä onkin = Tämä on kuitenkin sama kuin ensimmäisenkin aallon tapauksessa, koska n on kokonaisluku ja sinifunktio saa saman arvon, kun sen argumenttiin lisätään kerrottuna millä tahansa kokonaisluvulla. Nämä aallot ovat siis aina samassa vaiheessa jokaisen hilapisteen eli atomin kohdalla, eikä sillä, missä vaiheessa ne ovat hilapisteiden välissä, ole fysikaalista merkitystä. Jälkimmäinen aalto on siis ekvivalentti edellisen kanssa, jonka aaltovektori on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä.

Mielivaltainen atomikokoelma

Mielivaltaisellekin atomikokoelmalle voidaan määritellä käänteishila. Tähän voidaan päätyä muun muassa käsittelemällä hajaantuneita aaltoja, jotka syntyvt sellaisessa Fraunhoferin diffraktiossa, joka saadaan rajatapauksena suurilla etäisyyksillä summattaessa kaikista atomeista sironneet aallot Huygensin periaatteen mukaisesti.. Alla olevassa yhtälössä tätä summaa merkitään kompleksiamplitudilla F, koska sekin on suorassa avaruudessa olevan efektiivisen sirontapotentiaalin Fourier’n muunnos: