pienoiskuva|Virtafunktion tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja. Kuvassa on virtaukseen asetetun sylinterin ympärille muodostuvia virtaviivoja. Virtafunktio on kaksiulotteisen ja kokoonpuristumattoman virtaavan fluidin nopeutta kuvaava funktio. Virtafunktio on apuväline virtauksen jatkuvuusyhtälön sekä Navierin−Stokesin yhtälöiden ratkaisemiseen pienentämällä muuttujien lukumäärä yhteen. Virtafunktion geometrinen tulkinta liittyy virtauksen virtaviivoihin: virtaviivat ovat viivoja, joiden kohdalla virtauksen virtafunktion arvo on vakio.
Määritelmä
Karteesiset koordinaatit Tarkastellaan virtauksen nopeusvektorikenttää . Virtausta kuvaava jatkuvuusyhtälö on
,White, s. 257
missä
on virtaavan fluidin tiheys, on aika ja on osittaisdifferentiaalioperaattori ''nabla''.
Tässä muodossaan jatkuvuusyhtälössä on neljä muuttujaa: , , ja . Tarkoituksena on vähentää muuttujien määrää ensin kahteen. Tätä varten virtauksen pitää täyttää tiettyjä yksinkertaistavia ehtoja. Yleisin ehto on se, että virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta. Jos oletetaan, että nämä ehdot täyttyvät -tasossa, niin pätee
.
Määritellään nyt virtafunktio siten, että sama yhtälö voidaan kirjoittaa
.
Toisin sanoen virtafunktio on määriteltävä siten, että
jolloin virtauksen nopeus saa muodon
.
Napakoordinaatit Mikäli fluidin virtaus on kaksiulotteista ja kokoonpuristumatonta ja sen nopeus on määritelty napakoordinaatein , on virtafunktio määriteltävä siten, että
Sylinterikoordinaatit Olkoon nyt fluidin virtaus kolmiulotteista ja kokoonpuristumatonta siten, että sen nopeus on vain säteittäistä ja -akselin suuntaista: . Tällöin virtauksen virtafunktio on määriteltävä siten, että
Kokoonpuristuva virtaus Virtafunktio voidaan määritellä myös kaksiulotteiselle virtaukselle, jossa tiheys ei pysy vakiona. -tasossa jatkuvuusyhtälöstä tulee tällöin
.
Nyt virtafunktio määritellään yksinkertaisesti siten, että
Virtafunktion ominaisuuksia Virtaviiva Kaksiulotteisen virtauksen virtaviivoja ovat ne käyrät, jotka ovat kaikkialla virtauksessa sen nopeusvektorin tangentin suuntaisia. Nämä käyrät noudattavat yhtälöä
,White, s. 41
eli . Sijoittamalla virtafunktio tähän yhtälöön saadaan
.
Toisaalta yhtälön vasen puoli on ketjusäännön nojalla virtafunktion differentiaali:
.
Virtafunktion differentiaalille siis pätee
,
eli virtafunktion arvo on vakio virtaviivalla. Virtafunktion geometrinen tulkinta on siis se, että sen tasa-arvokäyrät ovat virtauksen virtaviivoja.
Tilavuusvuo
pienoiskuva|Virtafunktio on fysikaalinen tulkinta on virtaukseen kuvitellun tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alueen läpi kulkeva tilavuusvuo . Kolmiulotteinen tarkkailupinta on tässä kuvattu ylhäältä päin.Virtafunktion fysikaalinen tulkinta liittyy virtauksen tilavuusvuohon (jota ei pidä sekoittaa virtaamaan). Kuvitellaan kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen tarkkailupinta, joka on pystysuorassa virtaukseen nähden ja jonka korkeus -akselin suunnassa on 1. Tilavuusvuo tarkkailupinnan differentiaalisen pienen alan läpi on
,
missä
on pinnan yksikkönormaali. Korvataan nopeusvektori virtafunktiolla, jolloin
Kahden virtaviivan, ja , rajoittaman tarkkailupinnan osan läpi kulkeutuva tilavuusvuo on tällöin virtafunktioiden erotus:
. Sovelluksia
Roottori
Kaksiulotteisen, kokoonpuristumattoman virtauksen nopeusvektorikentän roottori saadaan virtafunktion ja Laplacen operaattorin avulla:
,
jossa on karteesisen koordinaatiston positiivisen -akselin suuntainen yksikkövektori.
Navierin−Stokesin yhtälö
Virtaavan fluidin liikemääräyhtälö, eli Navierin−Stokesin yhtälö on
,
missä
on putoamiskiihtyvyys, on paine ja on fluidin viskositeetti.
Kun sovelletaan Navierin−Stokesin yhtälöä kaksiulotteiseen ja kokoonpuristumattomaan virtaukseen sekä otetaan roottori yhtälön kummaltakin puolelta, saadaan yhtälö, joka kuvaa virtauksen virtafunktiota :
,
missä on fluidin kinemaattinen viskositeetti. Näin saadaan yhtälö, jossa on vain muuttuja . Toisaalta varjopuolena on se, että näin saatu yhtälö on neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jonka ratkaiseminen on, mikäli edes mahdollista, ainakin työlästä.
Laplacen yhtälö
Eräs tärkeä virtafunktion sovellus on kaksiulotteinen, kokoonpuristumaton, kitkaton ja pyörteetön virtaus, jossa siis on edellisten oletusten lisäksi ja . Tätä virtausta kuvaa Laplacen yhtälö
.
Lähteet
Luokka:Virtausdynamiikka