Aksiomaattinen joukko-oppi on toinen niistä osista, joihin joukko-oppi tavallisesti jaetaan. Toinen osista on naiivi joukko-oppi. Joukko-opin kehitti 1800-luvun lopulla saksalaisen matemaatikko Georg Cantor matematiikan haaraksi. Se on nykyisen matematiikan perustava osa.
Aksiomaattinen joukko-oppi
Nykyisin eniten tutkittu ja käytetty joukko-opin aksiomaattinen järjestelmä on Zermelo-Fraenkelin aksioomat, lyhenne ZF. Usein aksioomien joukkoon lisätään myös valinta-aksiooma C, jolloin käytetään lyhennettä ZFC. Aksioomia on kymmenen: Ekstensionaalisuusaksiooma: Kaksi joukkoa ovat samat jos ja vain jos niillä on samat alkiot. Tyhjän joukon aksiooma: On olemassa alkioton joukko. Merkitsemme tätä tyhjää joukkoa . Pariaksiooma: Jos ja ovat joukkoja, niin myös on joukko, joka sisältää vain alkiot ja . Yhdisteaksiooma: Jokaista joukkoa kohti on olemassa joukko , jonka alkiot ovat samat kuin joukon alkioiden alkiot. Äärettömyysaksiooma: On olemassa sellainen joukko , että on :n alkio ja aina kun on :n alkio, niin on myös unioni . Erotteluaksiooma (erotusaksiooma, separaatioaksiooma tai osajoukkoaksiooma): Jokaista joukkoa ja jokaista propositiota (ehtoa, relaatiota) kohti on olemassa sellainen alkuperäisen joukon osajoukko, joka sisältää täsmälleen ne joukon alkiot, joille pätee. Korvausaksiooma: Jokaista joukkoa ja kuvausta, joka määritellään formaalisti relaationa missä ehdosta ja seuraa , kohti on olemassa joukko, joka sisältää täsmälleen alkuperäisen joukon alkioiden kuvat. Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa kohti on olemassa joukko , joka sisältää vain kaikki :n osajoukot. Säännöllisyysaksiooma: Jokainen epätyhjä joukko sisältää sellaisen alkion , että ja ovat erillisiä joukkoja. Valinta-aksiooma: (Zermelon versio) Jokaista keskenään erillisten ei-tyhjien joukkojen joukkoa kohti on olemassa joukko joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta :n alkiosta.
Katso myös Valinta-aksiooma
Kirjallisuutta