Odotusarvo on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaisilmiön tuottamien lukujen odotettavissa oleva arvo. Numeerisia lukuarvoja tuottavia satunnaisilmiöitä kutsutaan satunnaismuuttujiksi. Satunnaismuuttujan tuottamat luvut ja niiden todennäköisyydet muodostavat yhdessä todennäköisyysjakauman. Odotusarvo on todennäköisyysjakauman ensimmäinen tunnusluku eli momentti.
Keskiarvo ja odotusarvo samaistetaan usein toisiinsa, vaikka odotusarvo on todennäköisyyslaskennan käsite ja keskiarvo lukuihin liittyvä tilastotieteen käsite. Odotusarvo saadaan laskemalla keskiarvo äärettömän monesta, yhden satunnaismuuttujan tuottamasta luvusta. Se voidaan myös tulkita keskiarvoksi äärettömän monesta äärellisen kokoisesta otoskeskiarvosta. Odotusarvolla on sama yksikkö kuin satunnaismuuttujalla.
Määritelmä ja merkinnät Odotusarvo voidaan merkitä eri tavoilla
Matemaattisesti odotusarvo määritellään diskreeteille ja jatkuville satunnaismuuttujille erikseen.
Diskreetti satunnaismuuttuja Diskreetin satunnaismuuttujan saamien kaikkien arvojen joukkoa kutsutaan todennäköisyyslaskennassa perusjoukoksi ja se merkitään Kunkin arvon esiintymistodennäköisyyttä merkitään vastaavasti Näitä todennäköisyyksiä kutsutaan usein pistetodennäköisyyksiksi ja niitä saatetaan merkitä myös
jossa funktioita ja kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioiksi.
Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo määritellään nyt (eri merkintätapoja käyttäen)
Esimerkkinä nopanheitto Pisteluvun odotusarvo kuusitahoiselle nopalle, jonka kaikkien pistelukujen todennäköisyys on yhtä suuri, on . Noppapelissä pelaaja voi odottaa etenevänsä pelilaudalla noin 3,5 askelta kierrosta kohti.
Jatkuva satunnaismuuttuja Jatkuvan satunnaismuuttujan saamien reaalilukuarvojen joukko muodostaa vähintään yhden yhtenäisen lukuvälin , joka on reaalilukujen osajoukko. Luvut muodostavat satunnaismuuttujan perusjoukon ja se voidaan merkitä . Reaalilukuja ei voida luetella, joten yksittäiseen lukuun liittyvää todennäköisyyttäkään ei voida esittää luettelemalla. Sen sijaan jokaisen välin luvulle voidaan liittää lukuarvo käyttämällä funktiota. Tätä funktiota kutsutaan todennäköisyyslaskennassa tiheysfunktioksi. Tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä, mutta sen avulla voidaan eri tapahtumille laskea ne.
Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ja tämän avulla määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo .
Yleisempi jatkuva määritelmä Määritellään satunnaismuuttujan odotusarvo integraalina yli satunnaismuuttujan perusjoukon todennäköisyysmitan suhteen .
Tämä voidaan kirjoittaa satunnaismuuttujan kertymäfunktion suhteen Lebesgue–Stieltjes-integraalilla .
Satunnaismuuttujan funktion odotusarvo Jos on mitallinen funktio, voidaan laskea sillekin odotusarvo Jos on diskreetti satunnaismuuttuja, on odotusarvo
ja jos se on jatkuva, saadaan odotusarvoksi
Tällä ajattelulla on mahdollista määrittää esimerkiksi origomomentteja tai keskusmomentteja
Ehdollinen odotusarvo Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla on -mitallinen satunnaismuuttuja , jolle yhtälö
pätee kaikilla . Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja on , missä tarkoittaa satunnaismuuttujan virittämää sigma-algebraa.
On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio ehdollistettavasta muuttujasta. Ehdollinen odotusarvo ehdolla on , missä on reaaliluku.
Ominaisuuksia Todennäköisyysmassalla tarkoitetaan todennäköisyyslaskennassa pistetodennäköisyysfunktion pylväikköä tai tiheysfunktion kuvaajan alle jäävää aluetta. Odotusarvo on sellainen satunnaismuuttujan arvo, joka vastaa tämän alueen painopistettä. Symmetrisen jakauman keskikohta on myös jakauman odotusarvo.
Satunnaismuuttujan , jonka ulostuloina on vain vakion arvoja, odotusarvo on
Tästä seuraa myös, että
Odotusarvon olemassaolo Todennäköisyysjakaumalla ei välttämättä ole olemassa odotusarvoa, jos jakauma ei toteuta niin sanottua itseistä satunnaismuuttujan odotusarvoa (itseisarvo)
tai jatkuvassa tapauksessa
Satunnaismuuttujan sanotaan olevan integroituva, jos sen odotusarvo on äärellinen eli . Jos se ei ole integroituva, on se vielä kvasi-integroituva, jos tai .
Summat ja lineaarikombinaatiot Seuraaville satunnaismuuttujille ja sekä reaaliluvuille ja voidaan johtaa seuraavia tuloksia.
Odotusarvo on lineaarinen operaattori, jolloin suorien summien odotusarvo on
ja lineaarikombinaatioiden odotusarvo on
Tällöin useamman satunnaismuuttujan tapauksissa on myös
ja
Luvun lisääminen satunnaismuuttujien arvoihin vaikuttaa myös sen odotusarvoon
Satunnaismuuttujan ensimmäinen keskusmomentti on aina nolla, koska
jos
Tulot Riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on kahden satunnaismuuttujan tapauksessa
ja usean satunnaismuuttujan tapauksessa
Riippuvassa tapauksessa
Lisäksi jos , niin , ja yleisemmin jos , niin .
Ehdolliselle odotusarvolle pätee niin sanottu iteroidun odotusarvon laki
Populaatio- ja otoskeskiarvo Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Otoskeskiarvolla tarkoitetaan suppean otoksen keskiarvoa suuremmasta populaatiosta. Sen avulla on mahdollista selvittää odotusarvon suuruus likimääräisesti, mutta kuitenkin "edullisesti". Keskiarvoa on tällöin pidettävä odotusarvon estimaattorina.
Kun lasketaan otoskeskiarvojen odotusarvoa, saadaan edellisten päättelysääntöjen avulla
Tämä tarkoittaa sitä, että keskiarvon lausekkeella saadaan keskimäärin odotusarvon tuloksia eli estimaattori on harhaton.
Keskiarvolla on toinen ominaisuus, joka liittyy estimointiin. Kun keskiarvon laskemiseksi kasvataetaan otoksen lukumäärää (otoksen ulostulot ovat riippumattomia toisistaan), käy keskiarvon varianssin
Keskiarvo on tarkentuva odotusarvon estimaattori, koska varianssi pienenee kun otoksen lukumäärä kasvaa.
Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on sen odotusarvo ja keskiarvo on siten odotusarvon harhaton ja tarkentuva estimaattori.
Lähteet
Luokka:Todennäköisyyslaskenta Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit