Banachin kiintopistelause on täydellisiin avaruuksiin liittyvä matemaattinen lause. Se on tärkeä työkalu metristen avaruuksien teoriassa ja sovellutuksissa Astala, Kari; Piiroinen, Petteri; Hans-Olav, Tylli: "Funktionaalianalyysin peruskurssi" (kurssimoniste), 2010, , sillä se takaa tiettyjen kuvausten kiintopisteiden olemassaolon ja tarjoaa metodin noiden kiintopisteiden määrittämiseksi. Lause on nimetty matemaatikko Stefan Banachin mukaan (1892–1945); Banach esitti lauseen ensimmäisen kerran vuonna 1922.
Lause
Olkoon (X, d) epätyhjä täydellinen metrinen avaruus ja olkoon f : X → X avaruuden X kontraktio; toisin sanoen on olemassa reaaliluku siten, että
kaikilla x, y X. Tällöin kuvauksella f on täsmälleen yksi kiintopiste a (kiintopiste on piste, jolle f(a) = a). Lisäksi kyseinen kiintopiste voidaan löytää seuraavasti: olkoon x0 avaruuden X mielivaltainen piste. Määritellään lukujono xn = f(xn-1), n = 1, 2, 3, ...; toisin sanoen kyseessä on jono f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))), ... Tämä jono suppenee kohti kiintopistettä a.
Todistus
Banachin kiintopistelauseen todistus pääpiirteissään:
Osoitetaan, että kiintopisteitä on enintään yksi: oletetaan, että X:n kontraktiolla f on kaksi kiintopistettä a ja b. Tällöin pätee
, missä . Siis d(a, b) = 0 eli a = b.
Olkoon nyt . Tarkastellaan jonoa , jossa . Voidaan osoittaa, että tämä jono on Cauchyn jono. Koska X on täydellinen, jono (xn) suppenee kohti jotakin pistettä a. f:n jatkuvuuden nojalla f(xn) → f(a). Toisaalta , joten f(xn) → a. Siis f(a) = a, eli a on kuvauksen f kiintopiste. □
Todistus normiavaruuden tapauksessa on lähes identtinen.
Esimerkkejä Picard-Lindelöfin-lauseen todistuksessa tarvitaan Banachin kiintopistelausetta, jotta siinä käytetty Picardin iteraatio suppenee haluttuun ratkaisuun. Nagle, R. Kent; Saff, Edward B.; Snider, Arthur David: "Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems" (6th edition), 2012,
Funktion nollakohtia voidaan etsiä iteratiivisesti (esim. Newtonin menetelmä), ja ne voidaan kirjoittaa kiintopistemenetelminä, jolloin suppeneminen yksikäsitteiseen kiintopisteeseen seuraa, jos menetelmä on kontraktio. Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas: "Numerical Analysis" (9th edition), 2011
Viitteet
Kirjallisuutta
Luokka:Topologia Luokka:Kiintopisteet Luokka:Matemaattiset teoreemat