Topologinen vektoriavaruus (eli TVS tai tvs) on sellainen vektoriavaruus, joka on myös topologinen avaruus ja jossa vektoriavaruuden laskutoimitukset (vektorien yhteenlasku ja skalaarikertolasku) ovat jatkuvia funktioita. Tällaista topologiaa kutsutaan vektoritopologiaksi. Jotkut kirjoittajat vaativat myös, että avaruus on Hausdorff-avaruus (vaikka tässä artikkelissa ei vaadita sitä).

TVS-avaruuksia ovat myös Banachin avaruudet, Hilbertin avaruudet ja Sobolevin avaruudet.

Monet topologiset vektoriavaruudet ovat funktioiden avaruuksia tai topologisiin vektoriavaruuksiin vaikuttavien lineaaristen operaattorien avaruuksia. Topologia määritellään usein siten, että se kuvaa tiettyä käsitystä funktiojonojen suppenemisesta .

Tässä artikkelissa topologisen vektoriavaruuden skalaarikentän oletetaan olevan joko kompleksiluvut vai reaaliluvut ellei toisin ole selvästi mainittu.

Motivaatio

Normiavaruudet Jokainen normiavaruus on TVS: normi indusoi metriikan ja metriikka indusoi topologian. Jokainen normiavaruus on topologinen vektoriavaruus, koska vektorioperaatiot ovat jatkuvia:

Vektorien yhteenlasku määritelty on jatkuva tämän topologian suhteen. Tämä seuraa suoraan normin noudattamasta kolmioepäyhtälöstä . Skalaarikertolasku määritelty jossa on taustalla oleva skalaarikenttä on (yhdessä) jatkuva. Tämä seuraa kolmioepäyhtälöstä ja normin homogeenisuudesta.

Siten kaikki Banach-avaruudet ja Hilbert-avaruudet ovat topologisia vektoriavaruuksia.

Ei-normiavaruudet On olemassa topologisia vektoriavaruuksia, joiden topologiaa ei indusoi normi, mutta jotka ovat silti tärkeitä analyysissä. Esimerkkejä tällaisista avaruuksista ovat holomorfisten funktioiden avaruudet avoimessa joukossa, äärettömästi derivoituvien funktioiden avaruudet, Schwartzin avaruudet sekä testifunktioiden ja niillä määriteltyjen distribuutioiden avaruudet.Rudin Walter, Functional Analysis, 2. laitos, 1991, sivut 4-5 §1.3 Nämä kaikki ovat esimerkkejä Montel-avaruuksista. Ääretönulotteinen Montel-avaruus ei ole koskaan normittuva. Tietyn topologisen vektoriavaruuden normin olemassaoloa kuvaa Kolmogorovin normittuvuuskriteeri .

Määritelmä oikea|pienoiskuva|TVS:n topologian määrittää sen origon ympäristöjen joukko. Minkä tahansa sen TVS:n muun pisteen x ympäristöt saadaan näistä translaatiolla. Topologinen vektoriavaruus ( TVS ) on vektoriavaruus topologisen kentän yli (useimmiten reaali- tai kompleksiluvut standarditopologioineen), jolla on sellainen topologia, että vektorien yhteenlasku ja skalaarikertolasku ovat jatkuvia funktioita (joissa näiden funktioiden aloilla on tulotopologiat). Tällaista topologiaa kutsutaan :n vektoritopologiaksi.

Hausdorff-oletus

Monet kirjoittajat (esimerkiksi Walter Rudin), mutta eivät tämä sivu, vaativat topologiaa kohdassa olevan T1 ; tästä seuraa, että avaruus on Hausdorffin ja jopa Tychonoff-avaruus.

Kategoria ja morfismit

Topologisten vektoriavaruuksien luokkaa tietyllä topologisella (kerroin)kunnalla merkitään yleensä tai Objektit ovat topologisia vektoriavaruuksia :n yli ja morfismit ovat jatkuvia lineaarikuvauksia objektista toiseen. Monet tutkituista TVS-skeemojen ominaisuuksista, kuten paikallinen konveksius, metrisoituvuus, täydellisyys ja normittuvuus, ovat invariantteja TVS-isomorfismien suhteen.

Ominaisuuksia Yksi vektoritopologioiden käytetyimmistä ominaisuuksista on, että jokainen vektoritopologia on translaatioinvariantti:

kaikille kuvaus , joka määritellään , on homeomorfismi, mutta jos , niin se ei ole lineaarinen eikä siten TVS-isomorfismi.

Skalaarikertolasku nollasta poikkeavalla skalaarilla on TVS-isomorfismi. Tämä tarkoittaa, että jos , niin lineaarikuvaus , joka määritellään , on homeomorfismi. Käyttämällä tuottaa negaatiokartan määritelty mikä on näin ollen lineaarinen homeomorfismi ja siten TVS-isomorfismi.

Jos ja niin ; jos lisäksi , niin on pisteen ympäristö (vastaavasti, avoin ympäristö, suljettu ympäristö) jos ja vain jos S on origon ympäristö (vastaavasti, avoin ympäristö, suljettu ympäristö).

Määritelmiä osajoukoille Vektoriavaruuden osajoukon sanotaan olevan

absorboiva (eli radiaalinen): jos jokaiselle on olemassa todellinen niin että mille tahansa skalaarille jolla </math>Rudin Walter, Functional Analysis, 2. laitos, 1991, sivu 6 §1.4 balansoitu: jos jokaiselle skalaarille konveksi : jos jokaiselle reaaliselle symmetrinen : jos eli jos

Jokainen origon ympäristö on absorboiva joukko ja sisältää avoimen balansoidun origon ympäristön.Narici & Beckenstein: Topological Vector Spaces, 2011, sivut=67-113. Siksi jokaisella topologisella vektoriavaruudella on lokaali kanta, joka koostuu absorboivista ja balansoiduista joukoista. Origolla on jopa (origon) ympäristökanta, joka koostuu suljetuista balansoiduista joukoista. Jos avaruus on lokaalisti konveksi, sillä on myös ympäristökanta, joka koostuu origon suljetuista konvekseista balansoiduista ympäristöistä.

Rajoitetut osajoukot

Topologisen vektoriavaruuden osajoukko on rajoitettu, jos jokaiselle origon ympäristölle on olemassa niin että .Rudin Walter, Functional Analysis, 2. laitos, 1991, sivu 8

Jokainen täysin rajoitettu joukko on rajoitettu. Jos on TVS:n vektorialiavaruus sitten osajoukko on rajoitettu avaruudessa jos ja vain jos se on rajoitettu avaruudessa Narici & Beckenstein: Topological Vector Spaces, 2011, sivut=155-176.

Metristyvyys

Birkhoffin–Kakutanin lause:

Jos on TVS, seuraavat neljä ehtoa ovat ekvivalentteja:Köthe: Topological Vector Spaces I, 1983, pykälä 15.11.Itse asiassa tämä on totta topologisille ryhmille, koska todistus ei käytä skalaarikertolaskua.

Origo on suljettu :ssä ja on olemassa numeroituva origon ympäristökanta. on metristyvä (topologisena avaruutena). On olemassa translaatio-invariantti metriikka, joka indusoi topologian . on metristyvä topologinen vektoriavaruus.eli ''metristyvä lineaariavaruus, mikä tarkoittaa reaalista tai kompleksista vektoriavaruutta, jossa on translaatioinvariantti metriikka, jonka suhteen yhteenlasku ja skalaarikertolasku ovat jatkuvia.

Duaaliavaruus Jokaisella topologisella vektoriavaruudella on jatkuva duaaliavaruus eli kaikkien jatkuvien lineaaristen funktionaalien joukko . Topologisella vektoriavaruudella on epätriviaali jatkuva duaaliavaruus, jos ja vain jos sillä on aito konveksi origon ympäristö.

Joukko-operaattoreiden säilyttämät ominaisuudet

Kompaktin (vastaavasti täysin rajoitetun, avoimen) joukon balansoidulla verholla on sama ominaisuus. Kahden kompaktin (vastaavasti rajatun, tasapainotetun ja konveksin) joukon (Minkowskin) summalla on sama ominaisuus. Mutta kahden suljetun joukon summan ei tarvitse olla suljettu. Tasapainotetun (vastaavasti, avoimen) joukon konveksi verho on tasapainotettu (vastaavasti, avoin). Suljetun joukon konveksin verhon ei kuitenkaan tarvitse olla suljettu. Rajoitetun joukon konveksin verhon ei tarvitse olla rajoitettu.

Lähteet

Huomautukset

Luokka:Topologiset avaruudet Luokka:Topologiset vektoriavaruudet Luokka:Sivut, joissa on tarkistamattomia käännöksiä