Matematiikassa kolmioepäyhtälö on lause, jonka mukaan kolmion sivun pituus on vähintään kolmion kahden muun sivun pituuden erotuksen itseisarvo ja korkeintaan yhtä suuri kuin kahden muun sivun pituuden summa.

Kolmioepäyhtälö on voimassa monissa avaruuksissa, kuten reaaliluvuilla, euklidisissa avaruuksissa, Lp-avaruuksissa ja sisätuloavaruuksissa. Se esiintyy myös monissa matemaattisen ja funktionaalianalyysin määritelmissä, kuten esimerkiksi normiavaruuden ja metrisen avaruuden määritelmässä.

Normiavaruus Normiavaruudessa V kolmioepäyhtälö on muotoa     kaikilla V:n alkioilla x, y. Siten vektoreiden summan normi on enintään samojen vektoreiden normien summa.

Reaaliluvut muodostavat normiavaruuden, missä normina on itseisarvo, joten kaikille reaaliluvuille x ja y on voimassa

Kolmioepäyhtälö on hyödyllinen matemaattisessa analyysissä arvioimaan kahden luvun summan suuruutta. Myös summan alarajalle saadaan arvio. Tätä nimitetään toisinaan käänteiseksi kolmioepäyhtälöksi. Sen mukaan kaikilla reaaliluvuilla x ja y on voimassa

Nämä voidaan yhdistää, jolloin saadaan

Todistus

Lemma

, missä

Lemman todistus

itseisarvon määritelmän nojalla

itseisarvon määritelmän nojalla .

Olkoon .

Itseisarvon määritelmän nojalla ja . Kun yhdistetään edelliset epäyhtälöt, saadaan . Lemman nojalla .

Edellä todistetun (1) nojalla ja . ja . . Lemman nojalla .

Metrinen avaruus

Jos metrisessä avaruudessa M on annettu metriikka d, on kolmioepäyhtälö muotoa     kaikilla M:n alkioilla x, y ja z. Siten etäisyys x:stä z:aan on enintään yhtä suuri kuin etäisyys x:stä y:hyn ja y:stä z:aan.

Seurauksia

Seuraavat kolmioepäyhtälön seuraukset ovat usein hyödyllisiä. Ne antavat alarajoja ylärajojen sijasta: tai metriikan termein .

Tämän mukaan siis normi , samoin kuin metriikka d(x, –), ovat 1-Lipschitz, ja siten jatkuvia.

Katso myös Cauchyn–Schwarzin epäyhtälö.

Minkowskin avaruuden kolmioepäyhtälö Tavallisessa Minkowskin avaruudessa kolmioepäyhtälön suunta kääntyy:

    kaikilla V:n alkioilla x, y joille , ja

Esimerkkinä tästä on suppean suhteellisuusteorian kaksosparadoksi.

Lähteet

Kirjallisuutta

Luokka:Epäyhtälöt Luokka:Lineaarialgebra Luokka:Kolmion geometria