Ristitulo eli vektoritulo on kolmi­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa määritelty kahden vektorin välinen laskutoimitus, jonka merkkinä käytetään vino­ristiä ×. Jos a ja b ovat kaksi eri­suuntaista vektoria, niiden ristitulo a × b on vektori, joka on molempia vastaan kohtisuorassa ja näin ollen kohti­suorassa niiden määrittämään tasoon nähden. Risti­tulolla on monia sovelluksia matematiikassa, fysiikassa, tekniikassa ja tietokoneohjelmoinnissa. Se on erotettava vektorien pistetulosta eli skalaari­tulosta.

Jos vektorit ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia, toisin sanoen ne eivät ole lineaarisesti riippumattomia, tai jompikumpi niistä on nollavektori, ristitulo on nollavektori. Muussa tapauksessa vektorien ristitulo on itseisarvoltaan (eli pituudeltaan) yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat; erityisesti toistensa nähden kohti­suorien vektorien ristitulo on niiden pituuksien tulo. Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen, toisin sanoen ), ja se noudattaa osittelulakia vektorien yhteenlaskun suhteen, toisin sanoen ). Avaruus varustettuna ristitulolla on algebra reaalilukujen kunnan yli. Se ei ole vaihdannainen eikä liitännäinen, mutta se on Lien algebra.

Pistetulon tavoin ristitulo riippuu euklidisen avaruuden metriikasta, mutta toisin kuin pistetulo, se riippuu myös avaruuden orientaatiosta eli kätisyydestä. Risti­tulon käsitettä voidaan yleistää monin tavoin; se voidaan tehdä kätisyydestä riippumattomaksi tulkitsemalla tulos pseudovektoriksi, tai kuinka monessa ulottuvuudessa tahansa voidaan vektorien ulkoista tuloa käyttää niin, että tuloksena on bivektori tai 2-muoto. Käyttämällä orientaatiota ja metristä struktuuria aivan samoin kuin tavan­omaisessa kolmi­ulotteisessa risti­tulossa voidaan n ulottuvuudessa muodostaa vektorin tulo niin, että se on kohti­suorassa niitä kaikkia vastaan. Kuitenkin vain kolmessa tai seitsemässä ulottuvuudessa voidaan kahden vektorin ei-triviaali tulo määritellä niin, että tuloksena on vektori. Niistäkin vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa ristitulo on yksikäsitteinen. thumb|right|Ristitulovektorien suunnat oikean käden säännön mukaisesti

Määritelmä right|thumb|Ristitulon suunnan määrittäminen oikean käden säännöllä. Vektorien a ja b ristitulo on määritelty vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ja se merkitään . Fysiikassa käytetään joskus myös merkintää , mutta matematiikassa sitä vältetään käyttämästä, jottei se sekaantuisi ulkoiseen tuloon.

Ristitulo määritellään vektorina c, joka on kohtisuorassa sekä a:ta että b:tä vastaan ja jonka suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan ja joka pituudeltaan on yhtä suuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina annetut vektorit ovat.

Ristitulo määritellään tällöin kaavalla

missä on vektorien a ja b välinen kulma niiden määrittämässä tasossa (näin ollen se on aina 0°:n ja 180°:n välillä), ja ovat vektorien a ja b pituudet ja n niiden määrittämää tasoa vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jonka suunta määräytyy oikean käden säännön mukaan oheisen kuvan osoittamalla tavalla. Jos vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaisia ( eli niiden välinen kulma on joko 0° tai 180°), seuraa määritelmästä, että niiden ristitulo on nollavektori 0.

left|thumb|Ristitulo (pystysuorassa, violetti) muuttuu, kun vektorien a (sininen) ja b (punainen) välinen kulma muuttuu. Ristitulo on aina molempia vastaan kohti­suorassa, ja se on nollavektori, kun vektorit ovat yhden­suuntaisia, ja saa suurimman arvonsa , kun ne ovat kohti­suorassa.

Sopimuksen mukaan vektorin n suunnan antaa oikean käden sääntö: jos oikean käden etusormi osoittaa vektorin a ja keskisormi vektorin b suuntaan, peukalo osoittaa vektorin n suuntaan oheisen kuvan mukaisesti. Tästä säännöstä seuraa, että risti­tulo on anti­kommuta­tiivinen. Toisin sanoen, jos vektorit a ja b vaihdetaan keskenään, risti­tulon suunta muuttuu vastakkaiseksi eli . Niinpä jos oikean käden asentoa muutetaan siten, että etusormi osoittaa vektorin b ja keskisormi vektorin a suuntaan, osoittaa peukalo väistämättä päin­vastaiseen suuntaan kuin aikaisemmin.

Edellä esitetystä määritelmästä seuraa, että ristituloa käytettäessä koordinaatiston kätisyys on otettava huomioon. Jos poikkeuksellisesti käytetään vasenkätistä koordinaatistoa, vektorin n suunnan antaa vasemman käden sääntö ja se osoittaa päinvastaiseen suuntaan.

Tästä aiheutuu kuitenkin ongelma, sillä jos yksi mieli­valtainen vertailu­järjestelmä vaihdetaan toiseen, esimerkiksi peilauksessa, jolloin siirrytään oikea­kätisestä vasen­kätiseen koordinaatti­järjestelmään, ristitulon n suunta muuttuu. Tämän ongelma selviää, kun ymmärretään, ettei kahden vektorin risti­tulo ole aito vektori vaan pseudovektori, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

Nimet upright=1.25|thumb|right|Sarrus’n säännön mukaan 3×3 -matriisin determinantti edellyttää matriisin lukujen kertolaskua leikkaavien lävistäjien suunnassa.

Vuonna 1881 Josiah Willard Gibbs ja hänestä riippumatta Oliver Heaviside, ottivat käyttöön sekä pistetulon että ristitulon käyttämällä edellisen merkkeinä pistettä, (), jälkimmäisen merkkinä vinoristiä ("x") ().

Vastaavia laskutoimituksia oli jo vuonna 1877 käyttänyt William Kingdon Clifford. Korostaakseen sitä, että toinen niistä antaa tuloksena skalaarin, toinen vektorin, hän antoi niille nimet skalaaritulo ja vektoritulo, joita edelleenkin yleisesti käytetään nimitysten pistetulo ja ristitulo ohella.

Siihen, että vektori­tulon merkiksi valittiin vinoristi () ja sitä alettiin nimittää ristituloksi, vaikutti toden­näköisesti se, että ristitulon jokaista skalaarista komponenttia laskettaessa kerrotaan keskenään a:n ja b:n ne komponentit, jotka eivät vastaa toisiaan. Sitä vastoin pistetuloa laskettaessa kerrotaan vektorien toisiaan vastaavat, yhden­suuntaiset komponentit. Kuten jäljempänä selitetään, risti­tulo voidaan esittää tietyn­laisen 3×3 -matriisin muodossa. Sarrus'n säännön mukaisesti tämä merkitsee, että matriisin lävistäjien suunnassa toisiaan seuraavat luvut kerrotaan keskenään.

Ristitulon laskeminen

Koordinaattimerkintä 300px|thumb|right|Standardit kantavektorit (i, j, k, joille käytetään myös merkintöjä e1, e2, e3) ja a:n vektorikomponentit (ax, ay, az, joille käytetään myös merkintöjä a1, a2, a3) Kolmi­ulotteisen avaruuden standardien kanta­vektorien i, j ja k ristitulot ovat oikea­kätisessä koordinaatistossa seuraavat:

mistä ristitulon anti­kommuta­tiivi­suuden vuoksi seuraa:

Ristitulon määritelmästä seuraa myös, että (nollavektori).

Voidaan osoittaa, että ristitulo noudattaa osittelulakia ja on lineaarinen, mikä tosin ei aivan mutkattomasti seuraa sen määritelmästä. Näiden ominai­suuksiensa sekä edellä lueteltujen kanta­vektorien risti­tulojen avulla voidaan laskea minkä tahansa kahden vektorin u ja v ristitulo. Jokainen vektori voidaan nimittäin esittää kolmen kohti­suoran komponentin summana, joista kukin on yhden kanta­vektorin suuntainen:

Ristitulo voidaan näin ollen laskea osittelu­lain avulla:

Tämä voidaan tulkita niin, että hajotetaan yhdeksän yksin­kertaisemman ristitulon summaksi, joista jokaisen tekijät ovat kanta­vektorien i, j ja k suuntaisia. Jokainen näistä yhdeksästä risti­tulosta on helppo käsitellä, sillä ne ovat joko toistensa suuntaisia tai toisiinsa nähden kohti­suorassa. Tästä hajotelmasta saadaan edellä esitettyjen yhtälöiden avulla ja yhdistämällä saman­muotoiset termit:

mikä merkitsee, että tuloksena saatavan vektorin kolme skalaarikomponenttia s = s1i + s2j + s3k = ovat

Sarakevektorien avulla sama tulos voidaan ilmaista myös seuraavasti:

Matriisimerkintä thumb|Sarrus'n sääntö vektorien u ja v ristitulon määrittämiseksi Ristitulo voidaan muodollisestiTässä "muodollisesti" merkitsee, että tämä merkintä on determinantin muotoinen, mutta ei tarkkaan ottaen ole determinantin määritelmän mukainen; kyseessä on lähinnä ristitulon kehitelmän muistamiseksi laadittu muisti­sääntö. esittää myös determinanttina:

Tämä determinantti voidaan laskea Sarrus'n säännön tai kofaktorikehitelmän avulla. Sarrus'n säännön avulla saadaan

Jos sen sijaan käytetään kofaktori­kehitelmää ensimmäiselle riville, saadaan:

mistä ristitulovektorin komponentit saadaan suoraan.

Ominaisuuksia

Geometrinen merkitys right|thumb|Kuvio 1. Suunnikkaan pinta-ala ristitulon itseisarvona right|pienoiskuva|Kuvio 2. Kolmen vektorin määrittämä suuntaissärmiö

Kahden vektorin ristitulon itseisarvo on yhtä suuri kuin sellaisen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina nämä vektorit ovat (katso kuvio 1):

Sellaisen suuntaissärmiön tilavuus V, jonka särmät ovat a, b ja c, voidaan laskea käyttämällä ristitulon ja pistetulon yhdistelmää, jota sanotaan skalaarikolmituloksi (katso kuvio 2):

Koska skalaarikolmitulo voi olla myös negatiivinen, suorakulmaisen särmiön tilavuus on skalaarikolmitulon itseisarvo. Esimerkiksi

Koska ristitulon itseisarvo on verrannollinen vektorien välisen kulman siniin, ristituloa voidaan käyttää kohtisuoruuden mittana samaan tapaan kuin pistetulo on yhden­suuntaisuuden mitta. Kahden yksikkövektorin ristitulon itseisarvo on 1, jos ja vain jos ne ovat koht­isuorassa, ja 0, jos ja vain jos ne ovat saman- tai vastakkais­suuntaisia. Samojen vektorien pistetulon laita on tässä suhteessa täsmälleen päin­vastoin.

Vektorien komponentti­esityksen avulla voidaan myös määrittää niiden välinen kulma. Niiden pistetulo antaa tämän kulman kosinin, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen, kun taas risti­tulon itseisarvo antaa saman kulman sinin, joka on aina positiivinen.

Algebralliset ominaisuudet

350px|thumb|Ristitulon kertominen skalaarilla. Vasemmalla: Vektori b hajotettuna a:n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Oikealla Kohtisuoran komponentin kertominen positiivisella reaaliluvulla r (jos se on negatiivinen, b:n ja ristitulon suunnat ovat päinvastaiset).

350px|thumb|Ristitulon osittelulaki vektorien yhteenlaskun suhteen. Vasemmalla: Vektorit b ja c hajotettuna a:n suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Oikealla: Yhdensuuntaiset komponentit häviävät ristitulossa, vain a:ta vastaan kohtisuorat komponentit jäävät jäljelle.

thumb|350px|Kolmesta vektorista a, b ja c saadut kaksi yhdistettyä ristituloa eivät ole yhtä suuret. Kummassakin tapauksessa kaksi vektoria määrittää tason, kolmas on tason ulkopuolella ja voidaan hajottaa tason suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Nämä komponentit voidaan muodostaa vektorin projektion ja rejektion avulla. Kolmitulo on tasossa ja kiertyy kuvan osoittamalla tavalla.

Jos kahden vektorin ristitulo on nollavektori (toisin sanoen ), joko ainakin toinen vektoreista on nolla­vektori, ( ja/tai ), tai vektorit ovat saman- tai vastakkais­suuntaisia (), jolloin niiden välisen kulman sini on nolla ( = 0° tai  = 180° ja ). Vektorin ristitulo itsensä kanssa on nolla­vektori, toisin sanoen . Ristitulo on anti­kommuta­tiivinen:

Ristitulo noudattaa osittelulakia yhteen­laskun suhteen:

Jos ristitulon jompikumpi tekijä kerrotaan skalaarilla, myös ristitulon arvo tulee kerrotuksi samalla skalaarilla:

Ristitulo ei ole liitännäinen, mutta sille pätee Jacobin identiteetti:

Osoittelulaki, lineaarisuus ja Jacobin identiteetti osoittavat, että vektoriavaruus varustettuna vektorien yhteen­laskulla ja risti­tulolla on Lien algebra, tarkemmin sanottuna kolmi­ulotteisen reaalisen orto­gonaalisen ryhmän Lien algebra SO(3).

Ristitulo ei noudata supistus­sääntöä: Vaikka a ei olisi nolla­vektori, yhtälöstä ei seuraa, että , vaan ainoastaan että:

Ristitulon määritelmästä seuraa, että tällöin vektorien a ja välisen kulman on oltava nolla eli niiden on oltava yhden­suuntaiset. Toisin sanoen ne liittyvät toisiinsa skaalaustekijällä t, eli

jollakin skalaariarvolla t.

Jos ja jollakin vektorilla a, joka ei ole nollavektori, on , sillä

and

eli on sekä vektorin a suuntainen että sitä vastaan kohtisuorassa, mikä on mahdollista vain, jos eli b ja c ovat identtiset.

Geometrisen määritelmän perusteella ristitulo on invariantti rotaatiossa akselin ympäri. Kaavana: