En géométrie, une ellipse est une courbe plane fermée obtenue par l’intersection d’un cône de révolution avec un plan, à condition que celui-ci coupe l'axe de rotation du cône ou du cylindre : c'est une conique d'excentricité strictement comprise entre 0 et 1. On peut également la définir comme le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes, dits foyers, est constante (sa construction par la méthode du jardinier est très simple).

Dans la vie courante, l’ellipse est la forme qu'on perçoit en regardant un cercle en perspective, ou la figure formée par l’ombre d'un disque sur une surface plane.

On retrouve aussi, en première approximationVoir problème à deux corps et problème à N corps., des ellipses dans les trajectoires des corps célestes (planètes, comètes ou satellites artificiels) en orbite autour d'une étoile ou d’une autre planète. La Terre parcourt approximativement une ellipse dont le Soleil est un foyer.

Les différentes définitions de l'ellipse peuvent conduire, dans certains cas extrêmes, à la construction d'un point, d'un segment ou d'un cercle, qui sont alors considérés comme des ellipses dégénérées n'en possédant pas toutes les propriétés géométriques.

vignette|upright=1.5|left|L'ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes, dits foyers, est constante.

Définitions géométriques Section d’un cône vignette|droite|Construction d'une ellipse par section d'un cône.

L’ellipse est une courbe plane qui fait partie de la famille des coniques. Elle est obtenue par l’intersection d'un plan avec un cône de révolution (non dégénéré à une droite ou un plan) lorsque ce plan traverse de part en part le cône.

Le cercle est alors un cas particulier de l'ellipse (quand le plan de coupe est perpendiculaire à l'axe du cône, sans passer toutefois par son sommet).

En particulier, avec l'aide du théorème de Dandelin, on peut déterminer l'excentricité de l'ellipse en fonction de l'angle du cône et de l'angle entre le plan de section et l'axe du cône : si l'on note l'angle entre le plan et l'axe du cône et l'angle du cône (le demi angle global au sommet), l'excentricité est égale à. : .

Directrice et foyer vignette|upright=1.5|Construction d'une ellipse par foyer et directrice. Ici avec une excentricité de 1/2.

Le cadre est l'espace affine euclidien de dimension 2. Soient (d) une droite, F un point n'appartenant pas à (d), e un réel dans . Soit P le plan affine déterminé par (d) et F. On appelle ellipse de droite directrice (d), de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan P vérifiant :

où mesure la distance du point M au point F et celle de M à la droite (d).

La constante e de proportionnalité des deux distances, appelée excentricité de l’ellipse, est sans dimension ; elle est caractéristique de la forme de l'ellipse, indépendamment de ses isométries (translations et/ou rotations) ou homothéties (de rapport non nul) dans le plan affine, et donc du choix arbitraire de repère orthonormé pour ce plan ; elle détermine tous les autres rapports de distances (et toutes les différences angulaires) mesurés sur l'ellipse.

On note K le projeté orthogonal de F sur (d). La droite (KF) est alors clairement un axe de symétrie de l'ellipse appelé axe focal. Les points d'intersection de l'ellipse avec son axe focal sont appelés des sommets de l'ellipse. La médiatrice du segment dont les extrémités sont ces deux sommets est également un axe de symétrie de l'ellipse, appelé petit axe de l'ellipse.

Une telle ellipse a donc deux droites directrices, symétriques l'une de l'autre par rapport au petit axe de l’ellipse et deux foyers associés également symétriques par rapport au petit axe.

Une ellipse est également entièrement déterminée par la position de ses foyers et son excentricité, ou bien encore par la position de ses droites directrices (parallèles entre elles), et son excentricité.

En géométrie euclidienne, cette définition de l'ellipse exclut le cercle, le segment de droite et le point.

Définition bifocale de l'ellipse

Soient F et F’ deux points distincts du plan. On appelle ellipse de foyers F et F’, l'ensemble des points M du plan vérifiant la propriété suivante :

où est la longueur du grand axe, et est la longueur du petit axe (perpendiculaire au grand axe)Si le point M est situé à l'intersection du grand axe on voit que la somme est égale à . Et s'il est situé à l'intersection du petit axe on a deux triangles rectangles identiques avec d'après le théorème de Pythagore : .. Cette relation exprime que la somme des distances d'un point M aux foyers est constante et vaut la longueur du grand axe.

Cette définition de l'ellipse permet de tracer un cercle de rayon lorsque les deux foyers sont confondus mais on ne peut plus alors parler d'axe focal ni de petit axe. Elle permet aussi de tracer un segment de droite lorsque .

Le théorème de Dandelin permet de placer géométriquement les deux foyers de l'ellipse obtenue par section d'un cône de révolution par un plan, à l'aide des deux sphères inscrites dans le cône et tangentes au plan de section. Un raisonnement analogue permet de prouver que la section d'un cylindre ou d'un hyperboloïde à une nappe par un plan coupant son axe est également une ellipse dont les foyers sont les points de tangence des sphères inscrites dans la surface de révolution et tangentes au plan.

Image d'un cercle par une affinité

Soient (C) un cercle de centre O et de rayon b, (C) un cercle de centre O et de rayon a (b < a), appelé cercle principal, (xx’) une droite passant par O et (yy’) la perpendiculaire passant par O. On appelle ellipse de centre O, de demi-grand axe a et de demi-petit axe b l'image du cercle (C) par l'affinité d'axe (xx’), de direction (yy’) et de rapport . C'est aussi l'image du cercle (C1) par l'affinité d'axe (yy’), de direction (xx’) et de rapport .

Pour construire le point M de l'ellipse, image du point M du grand cercle, on construit le point M du cercle (C) situé sur [OM]. On mène par M une perpendiculaire à (xx’) et par M une parallèle à (xx’). Les droites se coupent en M. En effet, si m est le projeté orthogonal de M sur (xx’), on a, d'après le théorème de Thalès,

Une telle définition de l'ellipse permet de tracer un cercle lorsque le rapport de l'affinité est 1 ou un segment quand le rapport de l'affinité est 0.

Si A est un point de tangence entre l'ellipse et le grand cercle, l'angle est appelé l'anomalie excentrique et peut servir de paramètre simple dans une équation paramétrée de l'ellipse.

En choisissant comme repère orthonormé le centre de l'ellipse avec donc l'axe des abscisses (xx’) sur la ligne du grand axe et l'axe des ordonnées (yy’) sur la ligne du petit axe, il est possible de démontrer l'équation cartésienneIl est possible aussi de démontrer l'équation cartésienne à partir de la définition bifocale de l'ellipse bien que ce soit plus long.. Soit cet angle appelé anomalie excentrique alors on peut exprimer les coordonnées paramétriques du point M : et , d'où et , puis et , et enfin comme d'après le théorème de Pythagore , il s'ensuit : .

Construction par un cercle directeur

Soient F et F’ deux points distincts, (C) un cercle de centre F’ et de rayon 2a (2a > FF’).

On appelle ellipse de cercle directeur (C) et de foyer F, l'ensemble des centres des cercles tangents intérieurement à (C) et passant par F.

Pour construire le point M sur l'ellipse, centre du cercle tangent à (C) en m, on trace la médiatrice du segment [Fm] : cette médiatrice rencontre le rayon [F’m] en M (le centre du cercle tangent) ; cette médiatrice est aussi une tangente en M de l’ellipse. On peut également obtenir l'ellipse par pliages : sur une feuille de papier, on dessine le cercle directeur et le foyer F et on plie la feuille de papier de manière à superposer un point du cercle avec le foyer F, l'ensemble des pliures obtenues dessine le faisceau des tangentes à l'ellipse.

La figure obtenue est symétrique par rapport au segment [FF’]. L'ellipse possède donc un autre cercle directeur de centre F et de rayon 2a.

Lorsque les deux points F et F’ sont confondus, une telle définition permet de tracer un cercle de centre F et de rayon a. Lorsque le rayon du cercle directeur est exactement égal à la distance FF’, la construction conduit au tracé du segment [FF’] : lorsque le point m est en F, les centres des cercles tangents intérieurement (C) décrivent le segment [FF’], lorsque m est distinct de F, le seul cercle tangent à (C) et passant par F est le cercle (C) lui-même et son centre est F’.

On peut également remarquer que le foyer F se projette orthogonalement sur la tangente en M en un point m’ appartenant au cercle principal de l'ellipse (le cercle de centre O et de rayon a). Plus précisément, l'ensemble des projetés de F sur les tangentes à l'ellipse dessine le cercle principal de l'ellipse., ce qui fait du cercle principal la podaire de l'ellipse par rapport à son foyer, et de l'ellipse l'anti-podaire du cercle principal par rapport au foyer.

Hypotrochoïde vignette|Construction d'une ellipse comme hypotrochoïde : le cercle noir tourne à l'intérieur du cercle bleu, le point rouge décrit alors une ellipse.

Si on fait rouler sans glissement un cercle de centre O’ de rayon R à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon 2R, le lieu parcouru par un point M, solidaire du petit cercle, situé à une distance d du centre O’ parcourt une ellipse. Son centre est O, ses demi-axes sont et ||. L'ellipse est donc un cas particulier d'hypotrochoïde.

Propriétés géométriques Éléments de symétrie « L’axe focal » (FF'), aussi appelé « axe principal », passant par les foyers et perpendiculaire aux directrices, est un axe de symétrie de l'ellipse ; il en est de même pour « l'axe secondaire », perpendiculaire à l'axe focal et passant par le « centre de l'ellipse » au milieu du « segment focal » [FF'].

L'intersection de l'axe focal et de l'axe secondaire, au centre de l'ellipse, est aussi un centre de symétrie.

Les points d'intersection de l'ellipse avec son axe focal sont appelés sommets principaux, ceux de l'ellipse avec son axe secondaire sont les sommets secondaires.

Le segment diamétral qui joint les sommets principaux (respectivement secondaires) en passant par le centre de l'ellipse est appelée « grand axe » (respectivement « petit axe »), comme aussi toute mesure de sa longueur une fois fixée l'unité arbitraire de longueur.

Tangente et bissectrice

Soit une ellipse dont les foyers sont F et F'. En un point M de cette ellipse, on considère la bissectrice du secteur angulaire (FMF'). Alors, cette bissectrice est perpendiculaire à la tangente en M.

Cette propriété, aussi appelée « propriété de réflexivité », est utilisée en optique géométrique dans les miroirs elliptiques : un rayon lumineux qui passe par un des foyers, lorsqu'il est réfléchi, passe par l'autre foyer. Ainsi, si l'on met une ampoule à un foyer d'un miroir elliptique, le faisceau lumineux se concentre sur l'autre foyer. Elle est également utilisée dans la construction de réflecteur de phare associé à une lentille convergenteLes différents projecteurs sur le site educauto.org..

vignette|gauche|Chambre à écho, gravure de Friedrich Schultes dans d'Athanasius Kircher et Tobias Nislen (1684).