En mécanique classique, le moment cinétique (ou moment angulaire par anglicisme) d'un point matériel M par rapport à un point O est le moment de la quantité de mouvement par rapport au point O, c'est-à-dire le produit vectoriel : .
Le moment cinétique d'un système matériel est la somme des moments cinétiques (par rapport au même point O) des points matériels constituant le systèmeEn général, le moment cinétique d'un ensemble de points n'est pas égal au moment de sa quantité de mouvement totale. : .
Cette grandeur, considérée dans un référentiel galiléen, dépend du choix de l'origine O ; par suite, il n'est pas possible de combiner en général des moments angulaires ayant des origines différentes. Son unité est le kilogramme mètre carré radian par seconde (). Par ailleurs, il s'agit d'un champ équiprojectif, donc un torseur.
Le moment cinétique joue, dans le cas d'une rotation, un rôle analogue à celui de la quantité de mouvement pour une translation : si la conservation de la quantité de mouvement pour un système isolé est liée à l'invariance par translation dans l'espace (propriété d'homogénéité de l'espace), la conservation du moment cinétique est liée à l'isotropie de l'espace. Le lien entre moment angulaire et rotation est encore plus net en mécanique analytique et surtout en mécanique quantique (cf. moment cinétique en mécanique quantique) où ce concept est enrichi, avec l'apparition d'un moment cinétique sans équivalent classique (le spin).
Pour un point matériel, la variation temporelle du moment cinétique est donnée par la somme des moments des forces appliquées à ce point. Ce résultat, qui peut se généraliser à un système de points, constitue le théorème du moment cinétique et est l'analogue de la relation fondamentale de la dynamique, qui lie variation temporelle de la quantité de mouvement et somme des forces appliquées.
C'est un opérateur en mécanique quantique, et un tenseur en relativité restreinte.
Définition et propriétés générales du moment cinétique
Pour définir simplement la notion de moment cinétique, il est utile de prendre d'abord le cas simple d'un point matériel (ou corps ponctuel), qui correspond à une idéalisation où les dimensions d'un système sont considérées comme petites devant les distances caractéristiques du mouvement étudié (distance parcourue, rayon d'une orbite…). Le système est alors modélisé par un simple point géométrique (noté M) auquel est associée sa masse m. Il est ensuite possible de généraliser par additivité la notion de moment cinétique à un système quelconque, considéré comme un ensemble de points matériels.
Cas d'un point matériel Pour un point matériel M en mouvement par rapport à un référentiel donné, de vecteur position , le moment cinétique (ou angulaire) par rapport à un point O choisi comme origine est défini ainsi..La notation est celle du produit vectoriel. : , où est la quantité de mouvement de la particule. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O. Il dépend du point O ainsi que du référentiel d'étude.
Si le mouvement du point matériel par rapport au référentiel considéré est rectiligne et que le point O se trouve sur la trajectoire, les vecteurs position et quantité de mouvement seront colinéaires, et le moment cinétique sera nul. En revanche, pour un point O en dehors de la trajectoire, du point de vue duquel la direction de « tourne » par rapport à celle de , cela ne sera plus vrai et le moment cinétique ne sera plus nul. Intuitivement, ceci permet de voir que est lié d'une certaine manière à la « rotation » du point matériel M autour de l'origine O.
Il est possible de traduire cette vision intuitive de façon générale et quantitative en établissant la relation entre sa variation temporelle (dérivée) du moment cinétique et la somme des moments des forces extérieures appliquées au système : c'est le théorème du moment cinétique.
Théorème du moment cinétique pour un point matériel La dérivation membre à membre de l'expression du moment angulaire, en notant que O est supposé fixe dans le référentiel d'étude (R), permet d'obtenir : , puisque et sont colinéaires.
Pour un point matériel, la relation fondamentale de la dynamique s'écrit : . Le membre de droite de l'équation précédente représente la somme des forces (réelles ou d'inertie) exercées sur le corps.
En tenant compte de ceci dans l'expression de la dérivée du moment cinétique, il vient l'équation suivante, dite théorème du moment cinétique : , où est le moment de la force par rapport au point O supposé fixe dans le référentielPar rapport à un point O mobile dans (R), le théorème du moment cinétique s'écrit : , la seule différence vient de l'addition d'un terme complémentaire dans le membre de gauche de la relation précédente.. Cette grandeur (appelée en anglais torque) correspond donc à la variation du moment cinétique en O qu'engendre l'action de la force .
Il en découle que si le moment résultant est nul, alors le moment cinétique est une intégrale première du mouvement.
: le théorème du moment cinétique est similaire dans sa forme à la relation fondamentale de la dynamique. Si cette dernière relie forces appliquées au point matériel et variation de sa quantité de mouvement, le théorème du moment cinétique relie la somme des moments de ces forces par rapport à un point donné et la variation du moment cinétique par rapport à ce même point. Or le moment d'une force par rapport à un point traduit en quelque sorte la « propension » de cette force à faire « tourner » le système autour de ce pointDe façon plus rigoureuse, il faut considérer un axe Δ passant par O et perpendiculaire au plan formé par , de vecteur unitaire . Le moment par rapport à l'axe Δ est alors donné par , avec θ angle entre et , d étant la distance entre l'axe Δ et la droite support de (ou bras de levier). Cette quantité traduit bien l'effet de en ce qui concerne la rotation de M autour de l'axe Δ.. Intuitivement, le théorème du moment cinétique est une sorte d'équivalent de la relation fondamentale de la dynamique pour ce qui est de la rotation du point M par rapport à O. Toutefois, c'est dans le formalisme de la mécanique analytique que la relation étroite entre moment cinétique et rotations spatiales devient nettement plus claire.
Exemples d'application
Un exemple simple est celui d'une particule décrivant un cercle de centre et de rayon : est dirigé selon l'axe du disque et vaut . Le sens du vecteur moment cinétique ne recouvre pas une réalité physique mais est une convention ; c'est un vecteur axial.
La figure ci-contre permet de préciser les relations entre les diverses grandeurs physiques.
Par analogie avec la quantité de mouvement, le moment cinétique permet de définir l'analogue de la masse : le moment d'inertie . En effet,
( étant la vitesse angulaire du point ), et .
En faisant correspondre à la vitesse angulaire du point matériel le vecteur axial , dit vecteur rotation, le moment cinétique s'écrit finalement dans ce cas : .
Dans le cas d'un solide, le moment cinétique et le vecteur rotation instantanée ne sont en général pas colinéaires, la relation entre et fait alors intervenir un tenseur, dit d'inertie, généralisant la notion précédente.
Cas d'un système matériel Définition La notion de moment cinétique se généralise sans difficulté par additivité à un système matériel, c'est-à-dire à un corps que l'on ne peut pas assimiler à un simple point géométrique. Le moment angulaire total est obtenu en additionnant ou intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants. Il est également possible de se placer dans la limite des milieux continus pour décrire certains systèmes mécaniques (solides, notamment).
Suivant que l'on adopte un modèle discret ou continu, le moment cinétique du système (S) par rapport à un point O s'écrit :
ou .
Ces expressions générales ne sont guère utilisables directement. Le théorème de Koenig relatif au moment cinétique permet d'en donner une forme plus compréhensible physiquement.
Théorème de König (Koenig) pour le moment cinétique
Si C est le centre d'inertie du système, et M la masse totale de celui-ci, alors il est possible de montrer que pour tout système matériel :
,
étant le moment cinétique propre du système, c'est-à-dire celui évalué dans le référentiel barycentrique (R) associé à (R), qui est le référentiel lié à C dont les axes sont en translation par rapport à ceux de (R). En utilisant les propriétés du centre d'inertie C, il est possible de montrer que le moment cinétique propre ne dépend pas du point O où il est évalué, et est tel que .
Physiquement, le théorème de König exprime le fait que pour un système matériel, le moment cinétique par rapport à un point est la somme de celui du centre d'inertie, affecté de la masse totale du système, et du moment cinétique propre du système. Il est donc possible de séparer le mouvement du centre d'inertie du mouvement propre du système.
La séparation des deux types de moment cinétique par le théorème est assez intuitive : ainsi, pour la Terre, dans un référentiel héliocentrique, il est facile de voir que le moment cinétique se décompose en un moment cinétique « orbital » lié à son mouvement de révolution autour du Soleil, et un moment cinétique « propre », lié à sa rotation propre autour de l'axe des pôles.
Cas d'un solide : tenseur d'inertie
Dans le cas particulier d'un solide idéal, il est possible de donner une expression générale du moment cinétique propre en fonction du vecteur rotation propre du solide (S) par rapport au référentiel d'étude (R), noté De façon simple, ce vecteur traduit la rotation d'un système de coordonnées rigidement lié au solide par rapport à (R). Il s'agit aussi du vecteur rotation propre par rapport à (R) puisque par définition ce référentiel est en translation relativement à (R)..
En effet, dans le cas d'un solide idéal (S), la vitesse de tout point Mi est donnée dans le référentiel barycentrique (R) par le champ des vitesses Cette relation est directement liée au fait que la distance entre deux points matériels quelconques est supposée invariante..
Par suite, le moment cinétique propre du solide (S) est donné par : ,
en posant en coordonnées cartésiennes et , il vient pour les différentes composantes de : ,
qui peut aussi s'écrire sous la forme intrinsèque : ,
avec tenseur d'inertie du solide (S), donné par : .
Il en résulte qu'en général le moment cinétique propre du solide n'est pas colinéaire à son vecteur rotation dans (R).
Le tenseur d'inertie est une caractéristique propre du solide (S), et donne la répartition des masses en son sein. Il s'agit d'un tenseur symétrique. Ses éléments diagonaux sont constitués des moments d'inertie du solide par rapport aux axes (Ox), (Oy) et (Oz) respectivement, et ses éléments non diagonaux sont égaux à l'opposé des moments d'inertie par rapport aux plans (xOy), (xOz) et (yOz).
Du fait de son caractère symétrique, il est toujours possible de diagonaliser ce tenseur par un choix judicieux des axes, qui sont appelés alors axes principaux d'inertie.
Moment cinétique et isotropie La notion d'isotropie de l'espace traduit l'équivalence de toutes les directions dans celui-ci: dire que l'espace est isotrope signifie donc aussi qu'il est invariant par toute rotation spatiale autour d'un point quelconque. Cette propriété est en particulier valable pour un système dit isolé, c'est-à-dire qui n'est soumis à aucune action extérieure.
Dans le formalisme hamiltonienLa démonstration se fait de la même façon en formalisme Lagrangien, en tenant compte du fait que par définition ., cela implique que la fonction de Hamilton de tout système isolé de n points matériels soit invariante par toute rotation globale du système autour de l'origine O (arbitraire). En particulier, cela sera valable pour une rotation élémentaire arbitraire de vecteur , telle que la variation du vecteur position soit donnée par .