L'oscillateur harmonique quantique correspond au traitement par les outils de la mécanique quantique de l'oscillateur harmonique classique.
De façon générale, un oscillateur est un système dont l'évolution dans le temps est périodique. Il est dit de plus harmonique si les oscillations effectuées sont sinusoïdales, avec une amplitude et une fréquence qui ne dépendent que des caractéristiques intrinsèques du système et des conditions initiales. Cela est le cas en mécanique classique pour une particule évoluant à une dimension dans un potentiel quadratique, de forme générale , k étant une constante positive.
Loin d'être un cas particulier purement académique, cette forme de potentiel est obtenue notamment dans le cas d'oscillations de faible amplitude autour d'une position d'équilibre stable dans un potentiel quelconque, à l'exception notoire du potentiel en 1/r rencontré en gravitation ou pour des charges ponctuelles comme celle des protons et électrons (cf. article sur l'oscillateur harmonique classique), car au voisinage de cette position d'équilibre le potentiel prend cette forme. Pour cette raison, le concept d'oscillateur harmonique joue un rôle majeur dans de nombreuses applications de la physique.
La mécanique quantique a révolutionné un grand nombre de concepts fondamentaux. L'oscillateur harmonique a aussi subi une reformulation dans ce cadre quantique, ce qui a permis d'élucider plusieurs résultats expérimentaux, notamment en physique de la matière condensée. Son étude amène à introduire des outils mathématiques d'un intérêt considérable en physique, notamment en théorie des champs : les opérateurs de création et d'annihilation de quanta.
L'oscillateur harmonique classique à une dimension Avant d'aborder le traitement quantique de l'oscillateur harmonique, il est intéressant de résumer les principaux résultats du traitement classique de cet oscillateur.
Définition - Importance physique Un oscillateur harmonique classique à une dimension est modélisé par un potentiel quadratique, typiquement (m étant la masse du système) : vignette|Comparaison pour une molécule diatomique entre la courbe de potentiel « réelle », représentée par le potentiel de Morse et celle d'un oscillateur harmonique. Le caractère non-harmonique du potentiel réel conduit à un resserrement des niveaux d'énergie, qui sont également espacés pour un oscillateur harmonique « pur », cf. plus bas dans l'article. , où est une grandeur homogène à une fréquence (angulaire) appelée pulsation propre de l'oscillateur. De façon générale celle-ci est liée à la « force » ou « raideur » du potentielPlus précisément à la « pente » de la parabole correspondant à la courbe représentative de V(x), voir ci-après..
L'énergie mécanique d'un oscillateur harmonique unidimensionnel est donc .
L'oscillateur harmonique a un intérêt considérable en physique, car tout système évoluant dans un potentiel au voisinage d'une position d'équilibre stable, donc un minimum de potentiel, peut être modélisé par un oscillateur harmonique pour les petites oscillations au voisinage de cette position d'équilibre.
En effet, dans le cas d'un potentiel quelconque unidimensionnel , avec un minimum en , il vient au voisinage de celui-ci : , avec nécessairement pour un minimum , ce qui correspond bien à un oscillateur harmonique tel que , l'expression précédente du potentiel correspondant au choix de et comme origines respectivement des coordonnées et des énergies.
L'approximation « harmonique » est valable au voisinage de la position d'équilibre stable du système : la figure ci-contre illustre la modélisation par un oscillateur harmonique de la courbe d'énergie potentielle d'une molécule diatomique.
Équations classiques du mouvement Pour la discussion des états quasi-classiques, il est utile de rappeler des éléments sur la nature du mouvement classique.
Les équations du mouvement de Hamilton pour le hamiltonien classique précédent s'écrivent sans difficultés sous la forme : .
Il est possible de donner une forme plus symétrique à ces équations en mettant le hamiltonien précédent sous une forme « réduite », en introduisant de nouvelles variables canoniques : et , ce qui permet de mettre le hamiltonien sous la forme : . Comme la transformation est canonique, et donc laisse inchangée la forme des équations de Hamilton. Les équations du mouvement précédentes deviennent alors : .
L'introduction de la grandeur complexe , permet de regrouper ces deux équations en une équation unidimensionnelle : , dont la solution générale est de la forme , avec . Par suite une particule de masse dans ce potentiel a un mouvement sinusoïdal de pulsation . L'énergie de la particule est une constante du mouvement positive ou nulle , dont la valeur dépend des conditions initiales de façon continue, sans restriction.
Le hamiltonien « réduit » précédent s'écrit en fonction de sous la forme .
L'oscillateur harmonique quantique à une dimension Position du problème
En mécanique quantique l'hamiltonien d'un oscillateur harmonique unidimensionnel s'écrit sous la forme :
où est la composante sur l'axe de l'opérateur impulsion de la particule.
Il faut alors résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps associée à cet hamiltonien :
, où est l'énergie associée à un état propre du systèmeConformément à une convention courante l'état propre de l'équation de Schrödinger dépendante du temps s'écrit avec Ψ majuscule : tandis que celui de l'équation indépendante du temps s'écrit avec ψ minuscule : . Il en est de même des fonctions d'onde associées dans les diverses représentations..
Il est alors possible d'écrire cette équation en représentation position, compte tenu de et , ce qui donne l'équation différentielle suivante pour la fonction d'onde : .
La résolution mathématique de cette équation ne présente pas de difficultés majeures, bien qu'elle conduise à des calculs assez complexes. Toutefois une telle méthode est surtout peu explicite physiquement, aussi est-il préférable d'employer une autre approche, très féconde, développée par Paul Dirac, qui non seulement permet d'obtenir les valeurs propres du hamiltonien sans résoudre explicitement l'équation différentielle précédente, mais qui peut être généralisée à d'autres situations (cf. quantification du champ électromagnétique classique, ou étude des vibrations dans un cristal, par exemple).
Propriétés générales des états propres Avant toute résolution, il est possible de déduire certaines propriétés importantes des valeurs et états propres du hamiltonien quantique précédent.
: en effet pour un état quelconque, il est évident que or . De façon évidente, il en est de même pour le terme en , donc pour tout état , .
: en introduisant les variances des valeurs moyennes de et de , soit et , il est possible de montrer que .
Par suite l'état fondamental de l'oscillateur harmonique quantique a une énergie non nulle (énergie du point zéro), contrairement au cas classique, et ceci résulte directement de la relation d'incertitude quantique entre et . Le confinement de la particule dans ce potentiel indique que le spectre de ces énergies sera discret. Le système ne fait apparaître qu'un seul degré de liberté, il n'y aura donc qu'un seul nombre quantique.
Introduction d'opérateurs sans dimension
Comme dans le cas classique il est utile d'introduire un hamiltonien sans dimension, dit réduit. Ceci est aisé dans la mesure où il est aisé d'introduire une « échelle » d'énergie pour le système en utilisant la quantité , par suite ( est la constante de Planck réduite) :
Il est facile de simplifier l'écriture de , en utilisant les opérateurs sans dimension (mais hermitiens) suivants :
, et .
Compte tenu de la relation de commutation ,la relation de commutation entre ces nouveaux opérateurs s'écrit : .
En termes de ces opérateurs « réduits » le hamiltonien de l'oscillateur harmonique unidimmensionnel s'écrit sous la forme : .
La quantité a la dimension d'une longueur. Les opérateurs « réduits » d'énergie, de position et d'impulsion quantiques ont des expressions qui rappellent celles utilisées dans le cas classique, sauf pour l'utilisation de la quantité .
Opérateurs d'échelle En utilisant la relation de commutation entre les opérateurs « réduits » de position et d'impulsion il est facile de vérifier l'identité suivante : .
Ceci suggère l'introduction des opérateurs non-hermitiques, appelés « opérateurs d'échelle », adjoints l'un de l'autre :
Ces opérateurs sont dits respectivement d’annihilation et de création de quantum d'énergie, pour des raisons qui apparaîtront plus bas. Il est facile de déterminer le commutateur entre ces deux opérateurs : .
De même, les opérateurs et s'expriment sous la forme :
Le hamiltonien du système peut alors s'écrire sous la forme : , où il a été introduit l'opérateur : , appelé parfois « opérateur nombre de quanta de vibration ».
Par suite, la détermination des valeurs propres du hamiltonien se ramène à celles de l'opérateur sans dimensions , qui est évidemment hermitien puisque . Par suite, ses valeurs propres sont réelles.
l'opérateur d'échelle peut être considéré comme le « pendant quantique » de la quantité complexe définie dans le cas classique, partie 1. il est intéressant alors de comparer l'expression du hamiltonien classique « réduit » avec celle obtenu dans le cas quantique. En dehors du facteur , la principale différence vient de l'apparition du terme supplémentaire en 1/2 dans le cas quantique, lié au caractère non commutatif des opérateurs d'échelle (en fait, de et ), qui donnera lieu à l'apparition de l'énergie dite de « point zéro ».
Calcul des valeurs propres
Les états propres commun de et sont notés , avec pour valeurs propres : , la valeur propre ν étant a priori un réel. Les valeurs propres de sont alors de la forme : . Dans la mesure où cela ne change pas les résultats pour les valeurs propres il n'est pas nécessaire dans un premier temps de prendre en compte une éventuelle dégénérescence de ces états propres.
Relations de commutation utiles À partir de la relation de commutation précédente entre les opérateurs d'échelle, il vient facilement :
Ces diverses relations rendent possible la détermination des valeurs propres de .
Action des opérateurs d'échelle sur les états propres En utilisant les notations et relations précédentes, il vient facilement : , ce qui donne : , autrement dit est un vecteur propre de de valeur propre (ν-1), il est possible de poser : , avec α nombre complexe qui peut être déterminé à une phase près en utilisant le fait que : , et comme nécessairement il est possible d'en déduire successivement : que les valeurs propres ν de sont ; que si en particulier ν = 0, alors et inversement si alors et donc tout état respectant cette condition est état propre de de valeur propre ν = 0; qu'en effectuant un choix de phase tel que α soit réel, il vient : , soit encore : , par suite l'opérateur abaisse la valeur propre ν d'une unité, d'où le nom d'opérateur d'annihilation de quantum (de vibration) donné plus haut.
En procédant de même avec il est possible de vérifier avec la même convention de phase que , par suite l'opérateur accroît la valeur propre ν d'une unité, d'où le nom d'opérateur de création de quantum (de vibration) donné plus haut.
Valeurs propres de l'opérateur N
Soit un état propre avec ν non entier, positif, N étant le premier entier tel que N > ν, il résulte de la relation que l'application à N reprises de l'opérateur d'annihilation permettait d'obtenir un état propre de avec une valeur propre négative, ce qui n'est pas possible puisque les valeurs propres de sont positives ou nulles.
En revanche si ν = n, n entier strictement positif, n applications successives de donnent : , et une nouvelle application de donne alors le vecteur nul.
Par suite . L'appellation d'opérateur « nombre de quanta de vibration » donnée plus haut est donc justifiée.
Les résultats précédents donnent alors :