La trisection du carré consiste à découper un carré en plusieurs morceaux de manière à reconstituer par assemblage des pièces obtenues, trois carrés de surfaces identiques.
vignette|upright=2|Fig.1. Une trisection du carré due à Henry Perigal (1891) vignette|Fig. 2. Trisection du carré en 6 pièces de même surface par Christian Blanvillain (2010).
Historique du problème
La dissection du carré en trois partitions congruentes est un problème de géométrie qui remonte à l'âge d'or de la civilisation islamique et du monde arabo-musulman. Les artisans qui maîtrisaient l'art du zellige avaient besoin de techniques novatrices pour réaliser leurs fabuleuses mosaïques aux figures géométriques complexes. Ainsi, la première solution à ce problème fut proposée au par le mathématicien perse Abu'l-Wafa' (940-998) dans son traité Sur l'indispensable aux artisans en fait de construction Alpay Özdural (1995), « Omar Khayyam, Mathematicians, and “conversazioni” with Artisans », Journal of the Society of Architectural Vol. 54, No. 1, Mar., 1995. Abu'l-Wafa' utilisa également sa dissection pour illustrer le théorème de Pythagore Reza Sarhangi, Slavik Jablan (2006). Elementary Constructions of Persian Mosaics. Towson University and The Mathematical Institute. online. Cette démonstration géométrique du théorème de Pythagore sera redécouverte dans les années 1835-1840 Voir appendice de L. J. Rogers (1897). Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Volume s1-29, Appendix pp. 732-735. par Henry Perigal Henry Perigal sur wikisource et publiée en 1875..
Recherche d'optimalité
La beauté d'une dissection dépend de plusieurs paramètres. Il est cependant d'usage de rechercher les solutions comportant le minimum de pièces. Loin d'être minimale, la trisection du carré proposée par Abu'l-Wafa' utilise 9 morceaux. Au , Abu Bakr al-Khalil propose deux solutions dont une en 8 morceaux. Vers la fin du , Jacques Ozanam se repenche sur le problèmeJean-Étienne Montucla (1778), complété et ré-édité par Jacques Ozanam (1640-1717) Récréations mathématiques, Tome 1 (1694), p. 297 Pl.15. et au des solutions en 8 et 7 morceaux sont proposées, dont une par le mathématicien Édouard LucasÉdouard Lucas (1883), Récréations Mathématiques, Volume 2. Paris, Gauthier-Villars. (1893) réimprimée par Blanchard en 1960. Voir p. 151 et 152 du Volume 2 de cette édition. online (pp. 145-147).. C'est en 1891 que Henry Perigal publie la première solution connue en 6 pièces seulement Henry Perigal (1891). Geometric Dissections and Transpositions, Association for the Improvement of Geometrical Teaching. (voir Fig. 1). De nos jours, de nouvelles dissections continuent d'être découvertes Christian Blanvillain et János Pach (2010). Square Trisection. Bulletin d'Informatique Approfondie et Applications N°86 - Juin 2010 également disponible à l'EPFL sur: oai:infoscience.epfl.ch:161493. (voir Fig. 2) et la conjecture que 6 est le nombre minimal de pièces n'est toujours pas démontrée.
Références
Bibliographie
Voir aussi Articles connexes Démonstrations géométriques du théorème de Pythagore Puzzle de dissection Tangram Liens externes Site web de Greg N. Frederickson, professeur à l'université Purdue
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