L'argument du caractère indispensable de Quine-Putnam est un argument en philosophie des mathématiques en faveur de l'existence d'objets mathématiques abstraits tels que les nombres et les ensembles, une position connue sous le nom de platonisme mathématique. Il doit son nom aux philosophes Willard Quine et Hilary Putnam et constitue l'un des arguments les plus importants de la philosophie des mathématiques.
Bien que des éléments de l'argument du caractère indispensable puissent provenir de penseurs tels que Gottlob Frege et Kurt Gödel, le développement de l'argument par Quine est unique en ce qu'il y introduit un certain nombre de ses positions philosophiques telles que le naturalisme, le holisme de confirmation et le critère de l'engagement ontologique. Putnam donne à l'argument de Quine sa première formulation détaillée dans son livre de 1971 Philosophy of Logic. Cependant, il en vient plus tard à être en désaccord avec divers aspects de la pensée de Quine et formule son propre argument du caractère indispensable basé sur l'argument de l'absence de miracles en philosophie des sciences. Une forme standard de l'argumentation dans la philosophie contemporaine est attribuée à Mark Colyvan ; tout en étant influencé à la fois par Quine et Putnam, il diffère sur des points importants de leurs formulations. Il est présenté ainsi dans la Stanford Encyclopedia of Philosophy : nous devrions avoir un engagement ontologique envers toutes et seulement les entités qui sont indispensables à nos meilleures théories scientifiques ; les entités mathématiques sont indispensables à nos meilleures théories scientifiques ; par conséquent, nous devrions avoir un engagement ontologique envers les entités mathématiques.
Les nominalistes, philosophes qui rejettent l'existence d'objets abstraits, argumentent contre les deux prémisses de cet argument. Un argument influent de Hartry Field affirme que les entités mathématiques ne sont pas nécessaires à la science. Cet argument est étayé par des tentatives visant à démontrer que les théories scientifiques et mathématiques peuvent être reformulées pour supprimer toute référence aux entités mathématiques. D'autres philosophes, dont Penelope Maddy, Mary Leng, Elliott Sober et Joseph Melia, soutiennent que nous n'avons pas besoin de croire en toutes les entités indispensables à la science. Les arguments de ces auteurs inspirent une nouvelle version explicative de l'argument, soutenue par Alan Baker et Mark Colyvan, selon laquelle les mathématiques sont indispensables à des explications scientifiques spécifiques ainsi qu'à des théories entières.
Contexte Dans son article de 1973 « Mathematical Truth », Paul Benacerraf soulève un problème pour la philosophie des mathématiques . Selon Benacerraf, des phrases mathématiques telles que « deux est un nombre premier » semblent impliquer l'existence d'objets mathématiques. Il soutient cette affirmation avec l'idée que les mathématiques ne devraient pas avoir leur propre sémantique particulière, ou en d'autres termes, la signification des phrases mathématiques devrait suivre les mêmes règles que celles des phrases non mathématiques. Par exemple, selon ce raisonnement, si la phrase « Mars est une planète » implique l'existence de la planète Mars, alors la phrase « deux est un nombre premier » devrait également impliquer l'existence du nombre deux. Mais selon Benacerraf, si les objets mathématiques existaient, ils nous seraient inconnaissables. En effet, les objets mathématiques, s'ils existent, sont des objets abstraits ; des objets qui ne peuvent pas provoquer d’événements et qui n’ont pas de localisation spatio-temporelle. Benacerraf soutient, sur la base de la théorie causale de la connaissance, que nous ne serions pas en mesure de connaître de tels objets parce qu'ils ne peuvent pas entrer en contact causal avec nous . C'est ce qu'on appelle le problème épistémologique de Benacerraf car il concerne l'épistémologie des mathématiques, c'est-à-dire comment nous arrivons à savoir ce que nous faisons à propos des mathématiques.
La philosophie des mathématiques se divise en deux volets principaux : le platonisme et le nominalisme. Le platonisme soutient qu'il existe des objets mathématiques abstraits tels que les nombres et les ensembles, tandis que le nominalisme nie leur existence. Chacun de ces points de vue est confronté à des problèmes dus au problème soulevé par Paul Benacerraf. Parce que le nominalisme rejette l’existence d’objets mathématiques, il n’est confronté à aucun problème épistémologique mais à des problèmes liés à l’idée selon laquelle les mathématiques ne devraient pas avoir leur propre sémantique particulière. Le platonisme ne se heurte pas à des problèmes concernant la moitié sémantique du dilemme, mais il a du mal à expliquer comment nous pouvons avoir une quelconque connaissance sur les objets mathématiques.
L’argument du caractère indispensable vise à surmonter le problème épistémologique posé au platonisme en fournissant une justification à la croyance en des objets mathématiques abstraits. Il fait partie d'une large classe d'arguments indispensables les plus couramment appliqués en philosophie des mathématiques, mais qui comprend également des arguments en philosophie du langage et en éthique. Au sens le plus général, les arguments du caractère indispensable visent à étayer leur conclusion fondée sur l’affirmation selon laquelle la véracité de la conclusion est indispensable ou nécessaire à une certaine fin. Lorsqu’ils sont appliqués dans le domaine de l’ontologie – l’étude de ce qui existe – ils illustrent une stratégie quinéenne pour établir l’existence d’entités controversées qui ne peuvent pas être directement étudiées. Selon cette stratégie, le caractère indispensable de ces entités pour formuler une théorie d’autres entités moins controversées constitue une preuve de leur existence. Dans le cas de la philosophie des mathématiques, le caractère indispensable des entités mathématiques pour formuler des théories scientifiques est considéré comme une preuve de l'existence de ces entités mathématiques.
Aperçu de l'argumentation Mark Colyvan présente l'argument dans la Stanford Encyclopedia of Philosophy sous la forme suivante : nous devrions avoir un engagement ontologique envers toutes et seulement les entités qui sont indispensables à nos meilleures théories scientifiques ; les entités mathématiques sont indispensables à nos meilleures théories scientifiques ; par conséquent, nous devrions avoir un engagement ontologique envers les entités mathématiques.
Ici, un engagement ontologique envers une entité est un engagement à croire que cette entité existe. La première prémisse repose sur deux hypothèses fondamentales : naturalisme et holisme confirmationnel. Selon le naturalisme, nous devrions nous tourner vers nos meilleures théories scientifiques pour déterminer ce que nous avons les meilleures raisons de croire. Quine résume le naturalisme comme « la reconnaissance que c'est dans la science elle-même, et non dans une philosophie antérieure, que la réalité doit être identifiée et décrite ». Le holisme confirmationnel est l'opinion selon laquelle les théories scientifiques ne peuvent pas être confirmées isolément et doivent être confirmées dans leur ensemble. Par conséquent, selon le holisme confirmationnel, si nous devons croire en la science, alors nous devrions croire en toute la science, y compris toutes les mathématiques supposées par nos meilleures théories scientifiques. L'argument s'adresse principalement aux nominalistes qui sont des réalistes scientifiques car il tente de justifier la croyance en des entités mathématiques d'une manière similaire à la justification de la croyance en des entités théoriques telles que les électrons ou les quarks ; Quine soutient que ces nominalistes ont un « double standard » en ce qui concerne l'ontologie.
L’argument du caractère indispensable diffère des autres arguments en faveur du platonisme car il plaide uniquement en faveur de la croyance dans les parties des mathématiques qui sont indispensables à la science. Cela ne justifie pas nécessairement la croyance dans les parties les plus abstraites de la théorie des ensembles, que Quine appelle « la récréation mathématique ». … sans droits ontologiques". Certains philosophes déduisent de l'argument que la connaissance mathématique est a posteriori parce qu'elle implique que les vérités mathématiques ne peuvent être établies que via la confirmation empirique de théories scientifiques auxquelles elles sont indispensables. Cela indique également que les vérités mathématiques sont contingentes puisque les vérités empiriquement connues sont généralement contingentes. Une telle position est controversée car elle contredit la vision traditionnelle de la connaissance mathématique comme connaissance a priori de vérités nécessaires.
Alors que l'argument original de Quine est un argument en faveur du platonisme, les arguments du caractère indispensable peuvent également être construits pour plaider en faveur de l'affirmation la plus faible du réalisme des phrases – l'affirmation selon laquelle la théorie mathématique est objectivement vraie. Il s’agit d’une affirmation plus faible car elle n’implique pas nécessairement qu’il existe des objets mathématiques abstraits.
Concepts majeurs
Indispensabilité La deuxième prémisse de l’argument du caractère indispensable affirme que les objets mathématiques sont indispensables à nos meilleures théories scientifiques. Dans ce contexte, le caractère indispensable n’est pas la même chose que l’inéliminabilité, car toute entité peut être éliminée d’un système théorique moyennant des ajustements appropriés aux autres parties du système. Par conséquent, la dispensabilité exige qu’une entité soit éliminable sans sacrifier l’attrait de la théorie. L'attrait de la théorie peut être évalué en termes de vertus théoriques telles que le pouvoir explicatif, l'adéquation empirique et la simplicité. De plus, si une entité est dispensable à une théorie, une théorie équivalente peut être formulée sans elle. C'est le cas, par exemple, si chaque phrase d'une théorie est une paraphrase d'une phrase d'une autre ou si les deux théories prédisent les mêmes observations empiriques.
Selon lEncyclopédie de philosophie de Stanford, l'un des arguments les plus influents contre l'argument du caractère indispensable vient de Hartry Field. Il rejette l'affirmation selon laquelle les objets mathématiques sont indispensables à la science ; Field soutient cet argument en reformulant ou en « nominalisant » les théories scientifiques afin qu'elles ne fassent pas référence à des objets mathématiques. Dans le cadre de ce projet, Field propose une reformulation de la physique newtonienne en termes de relations entre les points spatio-temporels. Au lieu de faire référence à des distances numériques, la reformulation de Field utilise des relations telles que « entre » et « congruent » pour retrouver la théorie sans impliquer l'existence de nombres. John Burgess et Mark Balaguer prennent des mesures pour étendre ce projet de nominalisation aux domaines de la physique moderne, dont la mécanique quantique. Des philosophes tels que David Malament et Otávio Bueno se demandent si de telles reformulations sont réussies ou même possibles, en particulier dans le cas de la mécanique quantique.