thumb|upright=1.5|Deux fonctions et qui admettent la même limite au point , et une fonction prise en « étau » entre et dans le voisinage de . Selon le théorème du sandwich, admet comme limite en .

En analyse, le théorème des gendarmes. (également appelé théorème de l'étau., théorème d'encadrement. ou théorème du sandwich.) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions ( et ) admettent la même limite en un point , et qu'une troisième fonction est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre et dans le voisinage de , alors admet en une limite, égale à la limite commune de et .

Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

Énoncé Soient : un espace topologique ; une partie de ; un point de adhérent à ; , et trois fonctions de dans = ℝ ∪ ; un élément de .

Origine du nom

Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions et à des gendarmes et à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie . En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ». Il est également appelé « théorème d'existence de limites par encadrement » dans le supérieur. car son résultat phare est l'existence de la limite plus que sa valeur. Il existe en effet d'autres théorèmes, comme celui de passage à la limite dans une inégalité, qui permettent d'obtenir la valeur d'une limite si l'on connaît son existence.

Cas particuliers Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant . Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant . L'ensemble peut être un intervalle réel et le point un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non). On peut aussi appliquer le théorème avec ou et : si , et sont trois suites réelles, telles que pour tout avec réel ou infini.

Exemples

Premier exemple Un exemple classique d'application du théorème des gendarmes est :

ou, ce qui est équivalent : . A fortiori, , ce qui peut également se démontrer directement, toujours par le théorème des gendarmes.

Deuxième exemple Un autre exemple de détermination de limite à l'aide du théorème des gendarmes est la démonstration de l'égalité suivante :

.

Elle découle du théorème des gendarmes par l'encadrement classiqueVoir par exemple , ou simplement la propriété 1 de

pour (non nul) suffisamment proche de 0.

Cette limite est utilisée pour démontrer que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.

Notes et références

Voir aussi

Article connexe Théorème du sandwich (variante) Liens externes https://www.ljll.math.upmc.fr/~nardoni/TDagrl3/TD1cor.pdf http://www.facsa.uliege.be/upload/docs/application/pdf/2012-07/analyse_-_synthese.pdf

Catégorie:Analyse réelle Gendarmes