droite|vignette|Illustration du théorème d'Erdős-Mordell : la somme des longueurs des trois segments rouges est supérieure ou égale au double de la somme des longueurs des trois segments noirs.
En géométrie euclidienne, le théorème d'Erdős-Mordell, ou inégalité d'Erdős-Mordell, donne une comparaison entre la somme des distances d'un point aux côtés d'un triangle et la somme des distances aux sommets. Il porte les noms des mathématiciens Paul Erdős qui l'a conjecturé en 1935 et Louis Mordell qui l'a prouvé en 1937, conjointement avec , en utilisant la trigonométrie. Des preuves plus élémentaires que celle de Mordell furent données par Donat K. Kazarinoff. en 1945., puis par Leon Bankoff en 1958..
Énoncé Pour tout point intérieur à un triangle ou situé sur sa frontière, la somme des distances de aux trois sommets est ou supérieure ou égale au double de la somme des distances de aux [droites portant les] trois côtés, avec égalité si et seulement si le triangle est équilatéral et en est le centre.
Plus précisément, soit un triangle, un point intérieur à ce triangle, et les projetés orthogonaux de respectivement sur , et . L'inégalité d'Erdős-Mordell s'énonce :
.
Démonstration La plupart des démonstrations aboutissent à l'inégalité :
,
où l'on a posé .
On en déduit bien l'inégalité (1) car pour tout .
Une démonstration Elle consiste à prouver . Par permutation, on obtient et , et en additionnant ces trois inégalités, on obtient l'inégalité (2).
D'après la cocyclicité de (angles droits en et ) , les angles et sont égaux.
Notons maintenant et les projections orthogonales de et sur la droite . On a alors
.
Les angles opposés par le sommet et étant égaux, donc aussi et , les triangles rectangles et sont semblables, ce qui implique . On montre de façon similaire que .
On obtient donc .
D'autre part, le théorème de Ptolémée appliqué au quadrilatère inscriptible permet d'écrire que .
En combinant les deux résultats, on obtient l'inégalité (3).
Cas d'égalité Dans le passage de (2) à (1), on a égalité si et seulement si autrement dit si le triangle est équilatéral.
L'inégalité (3) est une égalité si seulement si est parallèle à et de même pour les deux autres cas, donc si et seulement si se trouve sur les trois hauteurs, donc enfin si et seulement si est le centre du triangle.
Généralisation aux polygones convexes Pour tout point intérieur à un polygone convexe à côtés ou situé sur sa frontière, la somme des distances de aux sommets est ou supérieure ou égale à la somme des distances de aux [droites portant les] côtés divisée par .
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Point de Fermat, réalisant le minimum de
Liens externes Théorème d'Erdös-Mordell sur bibmath.net Erdös-Mordell Inequality sur Cut The Knot
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