En mathématiques, un espace strictement convexe est un espace normé dont la boule unité est strictement convexe dans le sens précisé ci-dessous. Cette propriété de la norme est moins forte que celle possédée par la norme d'un espace uniformément convexe ou d'un espace réflexif (à un changement de norme équivalente près), mais elle permet toutefois aux espaces strictement convexes d'avoir certaines des propriétés remarquables d'espaces plus structurés. Une norme conférant à l'espace vectoriel qu'elle équipe la propriété de stricte convexité est appelée une norme arrondie.
Définition
La définition peut prendre plusieurs formes équivalentesLa définition 1 est la plus courante, avec ses variantes : = 1, = 1, et impliquent ║║ < 1 ; parfois avec seulement = 1/2. La définition 2 est utilisée par . La définition 3 est utilisée par avec .
La stricte convexité d'un espace normé donné n'est pas conservée par changement de norme équivalente : un espace de dimension finie est strictement convexe pour ses normes euclidiennes mais pas pour ses normes et , par exemple, alors que toutes ses normes sont équivalentes. Il s'agit donc plus d'une propriété de la norme que de la topologie qu'elle définit. Pour cette raison, on parle parfois de norme strictement convexePar exemple ., mais cela introduit une ambiguïté de langage dont il faudra se méfier, car l'application n'est jamais strictement convexe, puisqu'elle est positivement homogène de degré 1 : pour tout positif. C'est en réalité la puissance de la norme qui est strictement convexe, comme l'indique la définition 3. Certains auteursPar exemple, utilise le vocable rotund norm. utilise indifféremment les vocables strictly convex norm et rotund norm. préfèrent donc utiliser l'expression de norme arrondie, pour éviter l'ambiguïté relevée ci-dessus.
Propriété Soient un espace normé et un vecteur non nul de . On appelle élément conjugué dual de tout élément du dual topologique de vérifiant :L'existence de tels est assurée par le théorème de Hahn-Banach (donc au moyen du lemme de Zorn). On dit que est un espace lisse, exercice 26 dans si tout vecteur de possède un unique élément conjugué dual.Ce nom vient du fait que est lisse si et seulement si l'application ║ ║ possède une dérivée de Gateaux en tout vecteur unitaire de , dans la direction de tout (ce qui équivaut à : ). Cette dérivée est alors égale à , où désigne l'élément conjugué dual de .
Existence
À un changement de norme équivalente près, tout espace de Banach réflexif ou séparable est strictement convexe.
Le second énoncé fournit des exemples simples d'espaces de Banach strictement convexes mais (même à équivalence près) non uniformément convexes : il suffit de prendre un espace de Banach séparable (donc strictement convexe pour une certaine norme) mais non réflexif (donc uniformément convexe pour aucune norme, d'après le théorème de Milman-Pettis).
Annexes
Notes
Bibliographie
Catégorie:Espace vectoriel normé Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Analyse convexe