vignette| Les relations d'Euler dans le triangle sont des relations entre les rayons des cercles inscrit/exinscrits et circonscrit. Leonhard Euler les a publiées en 1767 , mais elles l'avaient déjà été par William Chappie en 1746.
Notons qu'on désigne aussi par relation d'Euler la relation vectorielle reliant le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit.
Énoncé des relations Pour un triangle quelconque, on note , , les centres respectifs des cercles circonscrit, inscrit, et exinscrit dans l'angle (par exemple), et , , leurs rayons respectifs.
Les relations d'Euler s'énoncent
ce qui peut aussi s'écrire :
ou encore :
On en déduit l'inégalité d'Euler :laquelle est une égalité si et seulement si le triangle est équilatéral .
Démonstrations
Première démonstration géométrique vignette|Le calcul de la différence des puissances d'un point par rapport à deux cercles s'exprime à partir de la projection de sur l'axe radical des deux cercles.
Cette démonstration utilise la propriété suivante des puissances d'un point par rapport à deux cercles. Étant donnés deux cercles de centres et , et un point se projetant en sur l'axe radical, la différence des puissances de par rapport aux deux cercles vérifie : .
vignette Dans le triangle , les bissectrices et étant perpendiculaires ainsi que et , le quadrilatère est inscriptible dans un cercle de centre , milieu du diamètre .
Désignons par le point d'intersection de la bissectrice issue de avec le cercle circonscrit ; par le théorème de l'angle inscrit est le milieu de l'arc donc . Mais également, donc , et appartient au cercle circonscrit.
D'après la propriété ci-dessus, .
Or et , donc .
De même, .
D'après la propriété ci-dessus, .
Or et , donc .
Deuxième démonstration géométrique 520px|right Cette démonstration utilise les propriétés de l'angle inscrit et de la puissance d'un point par rapport à un cercle .
La droite coupe le cercle circonscrit en . Soit le point diamétralement opposé à sur ce cercle.
Soit le pied de la perpendiculaire menée de sur . C'est un point de tangence du cercle inscrit, en sorte qu'on a .
Les angles et sont égaux, puisqu'ils soutiennent le même arc capable. Les triangles rectangles et sont donc semblables puisqu'ils ont un angle non droit identique.
On en déduit : , d'où , et par conséquent : .
D'autre part l'angle est le supplémentaire de l'angle , c'est donc la somme des angles et , soit la demi-somme des angles et et l'angle est la somme des angles et , soit la somme des angles et (par propriété de l'angle inscrit), soit aussi la demi-somme des angles et .
Le triangle est donc isocèle, et par conséquent , et : .
Or, selon la propriété de la puissance d'un point par rapport à un cercle, puisque que est intérieur au cercle, .
Par conséquent : , soit , ce qu'il fallait démontrer.
Note : une démonstration similaire mais plus générale puisqu'elle permet d'obtenir à la fois et , se trouve dans.
Démonstration calculatoire Le point ayant pour coordonnées barycentriques , on a .
D'où, en utilisant le théorème de l'angle au centre : .
Or , etc.,
donc .
Comme et , on a , etc.
Donc .
Comme , on obtient .vignette|Si la ligne brisée partant de A se referme en trois coups.La relation pour le cercle exinscrit s'obtient similairement en utilisant .
Problème réciproque Étant donné un cercle de centre et de rayon , et un cercle de centre et de rayon vérifiant , existe-t-il un triangle dont les cercles circonscrit et inscrit soient et ?
Non seulement la réponse est positive, mais d'après le porisme de Poncelet, le premier sommet du triangle peut être choisi quelconque sur ..
Notons que le cercle est intérieur au cercle car .
Voir aussi Théorème de Fuss (analogue pour le quadrilatère) Polygone bicentrique, où se trouvent des formules pour les polygones d'ordre 5, 6, 8. Porisme de Poncelet Liste de sujets portant le nom d'Euler Références
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