Une fonction aléatoire intrinsèque d'ordre (en abrégé FAI-) est une classe d'équivalence de fonctions aléatoires respectant certaines conditions.
Cette propriété étend celle de fonction aléatoire intrinsèque. Une fonction aléatoire intrinsèque stricte est une représentation de FAI-.
On utilisera les notations suivantes dans la suite: une fonction aléatoire, définie sur un support borné une mesure, c'est-à-dire un système de poids associés aux points de l'espace. la FAI- dont est une représentation la translation selon un vecteur
Combinaisons linéaires autorisées
Une combinaison linéaire est dite autorisée (CLA) si elle admet une variance et qu'elle est de plus stationnaire d'ordre 2. On peut montrer que cela implique que pour une famille complète d'exponentielles-polynômes (de combinaisons linéaires de produits de polynômes et d'exponentielles de formes linéaires sur les coordonnées).
Dans la pratique, cette famille sera prise comme la famille complète des monômes de degré inférieur à un certain , et on parlera alors de combinaisons linéaires autorisées d'ordre (CLA-). On notera l'ensemble des CLA-. Fonctions aléatoire intrinsèques (d'ordre 0)
On introduit ainsi le variogramme , anciennement dénommé fonction de dispersion intrinsèque. Les seules combinaisons linéaires autorisées sont les combinaisons dont la somme des poids est nulle : .
Fonctions aléatoires intrinsèques d'ordre
De manière équivalente, une FAI- est une application linéaire d'un espace de CLA- dans un espace de Hilbert de variables aléatoires d'espérance nulle, avec stationnaire en .
On peut supposer dans la définition que l'espérance d'une CLA- est nulle, quitte à passer à l'ordre .
On appelle dérive de la FAI- . Toute FAI- est une FAI- sans dérive.
En géostatistique intrinsèque, une variable régionalisée sera considérée comme réalisation d'une représentation d'une FAI-. Une caractéristique intrinsèque sera tout paramètre du modèle probabiliste dépendant de la FAI- et non de la variable régionalisée. Par exemple, la dérive n'est pas intrinsèque.
Covariance généralisée Soit la dimension de l'espace de définition de la variable régionalisée étudiée.
Dans ce cas :
et dans le cas sans dérive :
De plus, , et .
Fonction de type positif conditionnel Une fonction symétrique est dite de type positif conditionnel sur si :
Toute covariance généralisée d'une FAI- est de type positif conditionnel sur et réciproquement.
Une fonction symétrique est dite de type positif conditionnel strict sur si de plus :
Les polynômes pairs de degré au plus sont les seules fonctions continues symétriques pour lesquelles
Catégorie:Variable aléatoire Catégorie:Géostatistique Aleatoire intrinseque