En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.
Définition L'enveloppe supérieure d'une famille d'applications d'un ensemble dans la droite réelle achevée est l'application
La notation est justifiée par le fait. que l'enveloppe supérieure de la famille n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis completL'ordre naturel sur est l'ordre produit : . des applications de dans .
On définit de même l'enveloppe inférieure avec ..
Propriétés Avec les notations précédentes, l'épigrapheL'épigraphe d'une application est l'ensemble . de l'enveloppe supérieure de la famille est l'intersection des épigraphes des :On en déduit que : est convexe si est un ℝ-espace vectoriel et si les sont convexes ; est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si est un espace topologique et si les sont fermées. Soit un espace localement convexe séparé. Une fonction de dans est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues..
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Analyse convexe