En logique, le syllogisme est un raisonnement logique mettant en relation au moins trois propositions : deux ou plus d'entre elles, appelées « prémisses », conduisent à une « conclusion ». Aristote a été le premier à le formaliser dans son Organon. Ces propositions sont généralement exprimées avec uniquement des prédicats unaires et relèvent donc de la logique monadique du premier ordre.
Un exemple très connu de syllogisme est : « Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel » : les deux prémisses (dites « majeure » et « mineure ») sont des propositions données et supposées vraies, le syllogisme permettant d'établir la validité formelle de la conclusion, qui est nécessairement vraie si les prémisses sont vraies.
La science des syllogismes est la syllogistique, à laquelle, entre autres, se sont intéressés les penseurs de la scolastique au Moyen Âge, comme Al-Fârâbî, Avicenne, puis Antoine Arnauld, Gottfried Wilhelm Leibniz, Emmanuel Kant, Georg Wilhelm Friedrich Hegel et Émile Durkheim1884a(45), Du Syllogisme.. Elle est l'ancêtre de la logique mathématique moderne et a été enseignée jusqu'à la fin du .
Étymologie Syllogisme est emprunté au grec , composé de (syn, « avec ») et (logos, « parole », « discours », « fable », « bruit », « lettres »)Cf. Dictionnaire grec français. Hatier. 1961. ..
Le sens de logos à utiliser est tout simplement parole (désignant ici une proposition). Syllogisme signifie donc littéralement .
Définition du syllogisme selon Aristote : Aulu-Gelle, Nuits attiques : Livre 15, Ch. 26 Théophraste et Eudème de Rhodes ont montré plus simplement qu’une proposition négative universelle pouvait être convertie en ses propres termes ; la proposition négative universelle, ils l’ont appelée proposition universelle privative, et ils font la démonstration suivante : supposons que A ne soit à aucun B ; s’il n’est à aucun B, il est séparé de lui, donc B est aussi séparé de tout A : par conséquent, B n’est à aucun A. Théophraste dit aussi que cette proposition affirmative probable peut être convertie de la même façon que toutes les autres propositions affirmatives. Théophraste et Eudème de Rhodes disent que la proposition universelle affirmative elle-même peut être convertie, comme on convertirait la proposition universelle affirmative et nécessaire. Théophraste, dans le Premier livre des Premières Analytiques, dit que la mineure d’un syllogisme est établie soit par une induction, soit par une hypothèse, soit par une évidence, soit par des syllogismes. Théophraste définit la voie qui conduit aux choses particulières, indéfinie celle qui conduit aux parties. Il oppose d’autre part à celle qui est simplement générale celle qui concerne les choses particulières, et à celle qui est générale en tant que générale celle qui concerne les parties.
Introduction Le syllogisme permet de mettre en lien dans une conclusion deux termes, le majeur et le mineur, au moyen d'un moyen terme. Le majeur et le mineur ne doivent apparaître qu'une fois chacun dans les prémisses, le moyen terme est présent dans chaque prémisse (puisqu'il permet la mise en rapport des deux autres termes) tandis que la conclusion expose le rapport entre le majeur et le mineur, de sorte que le syllogisme est un (expression de Renouvier, Traité). Voici un exemple de syllogisme :
Termes Prémisse majeure moyen majeur Tous les hommes sont mortels or... Prémisse mineuremineur moyen Tous les Grecs sont des hommes donc... Conclusion mineur majeur Tous les Grecs sont mortels
La syllogistique consiste à dresser la liste de toutes les formes de syllogismes correspondant à des raisonnements valides, et à étudier les liens qui existent entre ces diverses formes.
Avant de chercher à comprendre le fonctionnement des syllogismes, il faut distinguer Validité et Vérité : dire d'un syllogisme qu'il est valide, c'est affirmer que sa forme est valide. Un syllogisme est concluant quand il est valide et toutes ses prémisses sont vraies. Un syllogisme n'est jamais vrai ou faux. Ainsi, le syllogisme suivant est formellement valide. Il n'est, en revanche, pas concluant. Toutes les créatures sans dents sont kleptomanes, Or les poules n'ont pas de dents, Donc les poules sont kleptomanes.
Les propositions Sujet et prédicat des propositions Les syllogismes sont constitués de propositions, ou affirmations faites d'un sujet (désigné par S) relié par une copule à un prédicat (désigné par P), de type S {sujet} est {copule} P {prédicat}, ce qu'on notera dans la suite (S ⊂ P), en utilisant la notation désignant les sous-ensembles.
Ces propositions doivent être construites dans un ordre précis : le sujet de la conclusion, en effet, doit être présent dans une des prémisses (normalement la mineure), son prédicat dans l'autre (la plupart du temps la majeure), pour que le syllogisme soit valide. Le moyen terme (M) établit le rapport : {M est P} or {S est M} donc {S est P} .
Il est donc exclu que le moyen terme apparaisse dans la conclusion ou que l'une des prémisses mette en relation les deux termes extrêmes (termes mineur et majeur).
Rapport entre le sujet et le prédicat En fait, la copule est introduit un rapport entre les deux concepts S et P. Ces concepts, et le rapport que l'on établit ensuite entre eux, peuvent être appréhendés sous l'angle de la compréhension ou de lextension. (En logique, la compréhension d'un concept est la donnée des concepts plus généraux qui peuvent en être prédiqués, et peuvent entrer dans sa définition; là où l'extension d'un concept est la classe (l'ensemble) des individus qui répondent à ce concept.)S est P doit donc se comprendre à la fois comme : Compréhension : ; Extension : .
Ainsi, tous les hommes sont mortels se comprend doublement : Compréhension : ; Extension : .
Les classes de propositions Il existe quatre classes de propositions, distinguées par leur qualité et leur quantité : qualité : propositions affirmatives ; qualité : propositions négatives ; quantité : propositions universelles (le sujet concerne toute l'extension) ; quantité : propositions particulières (une partie de l'extension).
Ces quatre classes sont traditionnellement désignées par des lettres (depuis la scolastique médiévale, suivant une correspondance mnémotechnique en latin : affirmo (), nego () : A = affirmative universelle : ; ∀x(Hx → Mx) E = négation universelle : ; ∀x(Hx → non Mx) I = affirmation particulière : ; ∃x(Hx et Mx) O = négation particulière : . ∃x(Hx et non Mx)A et O sont 2 énoncés logiques contradictoires (l'un est vrai si et seulement si l'autre est faux); E et I aussi.
Soient : non A ↔ O et non E ↔ IDeux propositions disposant des mêmes sujet et prédicat peuvent s'opposer par leur qualité et/ou par leur quantité. Ainsi les oppositions qui peuvent être créées sont les suivantes : deux propositions contradictoires sont des propositions qui s'opposent par la qualité et la quantité ; deux propositions contraires sont des propositions universelles qui s'opposent par la qualité ; deux propositions subcontraires sont des propositions particulières qui s'opposent par la qualité ; deux propositions subalternes sont des propositions qui s'opposent par la quantité.
On établit ainsi le carré logique de l'opposition des propositions.
Or, un syllogisme doit considérer la classe de ses propositions et l'ordre dans lequel elles apparaissent pour rester valide : le schéma [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P) ne suffit pas, ne serait-ce que parce que l'on a parfois à faire à des exclusions d'ensembles, et non de seules inclusions.
Les modes La position du moyen terme : notion de figure On l'a dit, l'ordre dans lequel apparaissent les prémisses n'est pas pertinent. Ce qui l'est, en revanche, c'est la répartition du sujet et du prédicat de la conclusion au sein des prémisses, indiquée par celle du moyen terme.
La forme canonique d'un syllogisme est [(M ⊂ P) ; ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P). Dans ce cas, le moyen terme est sujet de la majeure et prédicat de la mineure. Cela dessine ce que l'on nomme la première figure, dans laquelle le terme majeur est prédicat de la prémisse majeure et le terme mineur sujet de la prémisse mineure. Trois autres figures sont cependant possibles : figure : [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ; figure : [(P ⊂ M) ∧ (S ⊂ M)] ; figure : [(M ⊂ P) ∧ (M ⊂ S)] ; figure : [(P ⊂ M) ∧ (M ⊂ S)]. Cette quatrième figure n'a pas été analysée par Aristote (considérant qu'elle revient à la première figure dont les prémisses seraient inversées) mais, selon la tradition, par Galien au de l'ère chrétienne. On la nomme aussi figure galénique.
L'extension des termes Ces figures ont une importance dans la recherche des modes concluants car elles déterminent, outre la place du prédicat, celle des termes majeurs et mineurs ; or, selon qu'un terme est sujet ou prédicat, et selon la qualité de la proposition (affirmative ou négative), l'extension de ce terme varie. Si l'on se souvient que le syllogisme fonctionne sur l'inclusion de classes au sein d'autres classes, l'on comprend que l'extension des termes soit fondamentale : dire que tous les hommes sont mortels, or les Grecs sont des hommes donc les Grecs sont mortels nécessite que les ensembles hommes, mortels et Grecs soient pris dans la même extension d'un bout à l'autre du syllogisme ou au moins dans une extension moindre dans la conclusion. Si, par exemple, Grecs correspondait dans les prémisses à seulement les Grecs de Béotie et dans la conclusion à tous les Grecs, le syllogisme n'aurait aucun sens : la classe tous les Grecs n'est pas incluse dans la classe Grecs de Béotie. Sachant que l'extension des termes change selon la qualité de la proposition et leur place en son sein, il convient, si l'on veut respecter leur identité d'un bout à l'autre du syllogisme, de connaître les règles suivantes : à proposition affirmative, prédicat particulier ; à proposition négative, prédicat universel ; à proposition universelle, sujet universel ; à proposition particulière, sujet particulier.
En effet, dans : tous les Grecs sont mortels, la classe Grecs est incluse dans celle des mortels; l'on ne peut cependant pas dire que la classe mortels soit limitée à celle de Grecs (tous les Grecs sont mortels ≠ tous les mortels sont Grecs). L'on considère donc une partie de l'extension de mortels; aucun Grec n'est immortel, la classe immortel est saisie dans son entier : l'intégralité de la classe immortel n'a aucun point commun avec celle de Grecs. L'on peut donc dire quaucun Grec n'est immortel équivaut à aucun immortel n'est un Grec ; quant aux sujets, ils sont quantifiés directement selon la quantité de la proposition où ils apparaissent : dans tout homme est mortel, la classe homme est prise en intégralité, dans quelques hommes portent une barbe de manière particulière. On peut aussi résumer les questions d'extension en considérant les classes de propositions : Classe de proposition Sujet de la proposition Prédicat de la proposition A (universelle affirmative) universel particulier E (universelle négative) universel universel I (particulière affirmative) particulier particulier O (particulière négative) particulier universel
L'extension des sujets et des prédicats, on le verra plus bas, joue dans la détermination des modes concluants.
Les modes concluants Sachant qu'il existe quatre classes de propositions (A, E, I et O), qu'un syllogisme se compose de trois propositions et que le moyen terme dessine quatre figures, il existe donc 4³ ×4 = 256 modes (à noter que si l'on compte les deux tournures que peut prendre la conclusion (A implique B ou B implique A), il existe alors 4³ ×4 ×2 = 512 modes).
De ces 256, seuls 24 sont valides, ou concluants (six par figure). Jusqu'à Théophraste dix-neuf étaient retenus, cependant Leibniz, dans son De arte combinatoria (1666), prend en compte les cinq autres, ces derniers ayant des conclusions particulières subalternes de conclusions universelles d'autres syllogismes.