En mathématiques, une algèbre séparable sur un corps commutatif K est une algèbre semi-simple qui, par extension des scalaires à un surcorps, reste semi-simple.
Dans ce article, K désigne une corps commutatif, et les algèbres sur K sont supposées être associatives et unitaires et de dimensions finies, et les homomorphismes d'algèbres sont supposés envoyer 1 sur 1. (Il y a une notion de K-algèbre non associative séparable, qui généralise celle-ci.)
Définitions et premières propriétés On dit qu'une algèbre A sur K est séparable ou absolument semi-simple si, pour tout surcorps commutatif L de K, la L-algèbre L ⊗K A déduite de A par extension des scalaires de K à L est semi-simple. En particulier, si A est séparable, alors A est semi-simple (prendre L = K).
Si la caractéristique de K est nulle (par exemple si K est le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes), alors les algèbres séparables sur K ne sont autres que les algèbres semi-simples sur K.
Les algèbres séparables commutatives sur K ne sont autres que les algèbres étales sur K. En fait, le centre de toute algèbre séparable sur K est une algèbre étale sur K.
Exemples. Les extensions séparables de K sont des algèbres séparables sur K. Les algèbres simples centrales sur K sont séparables.
L'algèbre produit d'une famille finie d'algèbres séparables sur K est séparable (et réciproquement).
D'après le théorème d'Artin-Wedderburn, toute algèbre semi-simple sur K est produit d'algèbres simples sur K, et pour décrire les algèbres séparables sur K, il suffit donc de décrire les algèbres séparables qui sont simples.
Pour qu'une algèbre A sur K soit séparable et simple, il faut et il suffit que A soit une algèbre simple (de dimension finie) et que centre de L de K soit une extension séparable de K. Donc ce ne sont autres que les algèbres simples centrales sur des extensions séparables de K. Ces algèbres sont, à isomorphisme près, celle qui sont de la forme Mn(D), où D est une algèbre à division de centre une extension séparable de K (ou encore, de la forme EndD(E), où D est une algèbre à division de centre extension séparable de K et E est un espace vectoriel de dimension finie sur D).
Les algèbres séparables sur K ne sont autres que les algèbres qui sont isomorphes au produit d'une nombre fini d'algèbres simples séparables sur K (dont la description vient d'être donnée).
Construction d'algèbre séparables L'algèbre opposée à une algèbre séparable est séparable. Toute algèbre quotient d'une algèbre séparable par un idéal bilatère est une algèbre séparable. Le produit tensoriel de deux algèbres séparables (ou plus généralement d'une famille finie d'algèbres séparables) est une algèbre séparable. Pour tout surcorps commutatif L de K, la L-algèbre L ⊗K A déduite d'une K-algèbre séparable A par extension des scalaires de K à L est un séparable. Soit L une extension de degré fini de K et A une algèbre séparable sur L. Si L est séparable sur K, alors la K-algèbre sous-jacente à A est séparable.
Références N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. 5 , Alexander Merkurjev, Markus Rost et Jean-Pierre Tignol, The Book of Involutions, AMS, 1998
Article connexe Algèbre semi-simple
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