Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.
Définition Soit un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur et toute partie de , la distance de à (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de ) est :
La notation désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par .
Une base d'Auerbach est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de ont pour norme 1.
Propriétés Toute base d'Auerbach est : topologiquement libre c'est-à-direN. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT I. que pour tout de , le vecteur n'appartient pas à , et a fortiori algébriquement libre ; topologiquement génératrice, ou « totale » (c'est ce qu'exprime la condition ), mais pas nécessairement algébriquement génératrice. (Si est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.) Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.
Motivation Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur et toute partie on a :
(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.
La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. , édité par M. Garasiński, Varsovie, 1932..
Définition équivalente Dans un espace de Banach , une partie est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :
pour tout vecteur de , on a la condition de normalisation ; pour tout vecteur de , il existe une forme linéaire continue sur (donc un élément du dual topologique de ) de norme 1, nulle sur et telle que .
En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn-Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé de l'espace de Banach et tout vecteur n'appartenant pas à , il existe sur une forme linéaire de norme 1, nulle sur , et telle que .
Notes et références
Bartoszyński et al., « On bases in Banach spaces », in Studia Math., vol. 170, , 2005,
Article connexe Base de Schauder
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