Soit G un groupe (au sens mathématique) fini. Un ensemble B de sous-groupes de G est appeléAppellation conforme à Ermanno Marchionna, « Sur les théorèmes de Sylow pour les groupes à opérateurs », Séminaire Dubreil, Algèbre, t. 25, n° 2 (1971-1972), exp. n° 13, p. J1-J17, spéc. p. J3-03 et J3-04, consultable sur numdam.org. une base de Sylow de G si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
P désignant l'ensemble des diviseurs premiers de l'ordre de G, il existe une bijection f de P sur B telle que, pour tout élément p de P, f(p) soit un p-sous-groupe de Sylow de G ; si S1 et S2 sont deux éléments de B, alors S1 S2 est un sous-groupe de G (ce qui, comme on le saitVoir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, PUF, 1984, prop. 1.47, p. 37-38., revient à dire que S1 S2 = S2 S1).
Philip Hall a démontré ; . (Références données par .) qu'un groupe fini admet une base de Sylow si et seulement s'il est résolublePour une démonstration des deux branches de l'équivalence, voir par exemple .. Pour démontrer que l'existence d'une base de Sylow entraîne la résolubilité, on utilise le théorème de résolubilité de Burnside.
Notes et références
Voir aussi Sous-groupe de Hall
Catégorie:Théorie des groupes Catégorie:Groupe fini