En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits », par l'un de ses sous-groupe distingué et l'un de ses quotients.
Définition Une extension d'un groupe par un groupe est un groupe qui s'insère dans une suite exacte courte de la forme Autrement dit, le groupe est une extension de par C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans : N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6, et . Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q : Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;
et . , souligne que les deux conventions coexistent. si est isomorphe à un sous-groupe normal de et est isomorphe au groupe quotient .
Propriétés Une extensionest dite centrale si est inclus dans le centre de , triviale si est isomorphe au produit direct , scindée s'il existe un morphisme de groupes vérifiant . Les extensions scindées de Q par sont celles qui correspondent aux produits semi-directs . Les groupes dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres, exercice 11.1.3..
Morphisme d'extensions Étant donné deux extensions de par et un morphisme d'extensions de dans est un morphisme de groupes pour lequel le diagrammeest commutatif, c'est-à-dire vérifiant et . D'après le lemme des cinq, un tel morphisme est toujours un isomorphisme. Notes et références
Articles connexes Extension HNN Foncteur Ext Homologie des groupes Multiplicateur de Schur
Catégorie:Théorie des groupes