En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isador M. Sheffer, est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral.
Définition Soit () une suite de polynômes (de variable x), telle que quelque soit n, . On définit un opérateur linéaire par : ; la famille des étant une base échelonnée en degré, ceci définit pour tous les polynômes.
La suite () est une suite de Sheffer si est « invariant par translation », c'est-à-dire si (pour tout ) entraîne , autrement dit si commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel est un ).
Propriétés
L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombrale, définie de la manière suivante : soient { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } et { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, … } deux suites polynomiales, avec
Alors leur composé ombral est la suite polynomiale dont le n-ème terme est . L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes (où est le symbole delta de Kronecker).
Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial, qui sont celles vérifiant l'identité
Une suite de Sheffer { pn(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si et
Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe normal ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni normal. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial. Si (sn(x)) est une suite de Sheffer et (pn(x)) est la suite de type binomial dans la même classe, alors
En particulier, si { sn(x) } est une suite d'Appell,
Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.
Une suite de Sheffer pn est caractérisée par sa série génératrice exponentielle
où A et B sont des séries formelles de puissances de t. Les suites de Sheffer sont ainsi des exemples de polynômes d'Appell généralisés et satisfont par conséquent à une relation de récurrence associée.
Exemples Parmi les suites de polynômes qui sont des suites de Sheffer, on trouve la suite des monômes , mais aussi : les polynômes d'Abel ; les polynômes de Bernoulli ; les polynômes d'Hermite ; les polynômes de Laguerre ; ainsi que les polynômes de Mahler, les polynômes de Mott, etc.
Voir aussi Calcul ombral
Références
Liens externes
Catégorie:Polynôme remarquable