En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.
Énoncé Soient : un groupe ; une partie génératrice de ; un sous-groupe de ; une transversale à droite de dans , contenant l'élément neutre. Pour tout élément de , on note l'élément de qui a la même classe à droite : .
Alors, est engendré par le sous-ensemble .
Exemple Si est d'indice 2 dans , alors contient au moins un , et on peut prendre comme transversale . On peut de plus se ramener au cas où est le seul élément de qui n'appartient pas à (en remplaçant les autres par leur produit par ). On calcule alors
est donc engendré par joint aux éléments de et à leurs conjugués par .
Applications On en déduit immédiatement que si est un groupe de type fini et un sous-groupe d'indice fini alors est de type fini. Ce lemme est également une première étape dans la preuve par Schreier du théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.
Source , p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)
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